Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2020

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}$, con $m \in \mathbb{R}$, halle $A^{-1}$ y $A^{10}$. [2 puntos]

$\textbf{Dada la matriz } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{, con } \boldsymbol{m\in\mathbb{R}}\textbf{, halle } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{ y } \boldsymbol{A^{10}}\textbf{. [2 puntos]}$

La matriz es triangular inferior con unos en la diagonal, de modo que su determinante es el producto de la diagonal:

$|A|=1\cdot 1\cdot 1=1\neq 0$

y la inversa existe cualquiera que sea $m$.

$\textbf{Inversa.}$

Conviene escribir $A=I+N$, separando la parte que no es la identidad:

$N=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ m & 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad N^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Como $N^{2}$ es la matriz nula, el producto $(I+N)(I-N)=I-N^{2}=I$, de donde

$A^{-1}=I-N=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -m & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Se comprueba multiplicando:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -m & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\textbf{Potencia décima.}$

Se calculan las primeras potencias para reconocer la ley de formación:

$A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2m & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad A^{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3m & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Cada vez que se multiplica por $A$ el elemento de la esquina aumenta en $m$, de modo que

$A^{n}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ nm & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Formalmente es consecuencia de que $N^{2}=0$: al desarrollar $(I+N)^{n}$ por el binomio de Newton, todos los términos con $N^{2}$ o potencias mayores se anulan y queda $A^{n}=I+nN$.

$A^{10}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 10m & 0 & 1 \end{pmatrix}$