Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2020

Calcule el siguiente determinante: [2 puntos]

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & y & z & t \\ x^{2} & y^{2} & z^{2} & t^{2} \\ x^{3} & y^{3} & z^{3} & t^{3} \end{vmatrix}$

$\textbf{Calcule el siguiente determinante: } \boldsymbol{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & y & z & t \\ x^{2} & y^{2} & z^{2} & t^{2} \\ x^{3} & y^{3} & z^{3} & t^{3} \end{vmatrix}}$

Es un determinante de Vandermonde: cada columna está formada por las potencias sucesivas de un mismo número. Se calcula haciendo ceros en la primera fila, para lo cual se resta a cada fila la anterior multiplicada por $x$, empezando por abajo para no estropear los cálculos.

$F_{4}\to F_{4}-x\,F_{3},\qquad F_{3}\to F_{3}-x\,F_{2},\qquad F_{2}\to F_{2}-x\,F_{1}$

Estas operaciones no alteran el valor del determinante, porque a cada fila se le suma otra multiplicada por un número:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & y-x & z-x & t-x \\ 0 & y(y-x) & z(z-x) & t(t-x) \\ 0 & y^{2}(y-x) & z^{2}(z-x) & t^{2}(t-x) \end{vmatrix}$

Desarrollando por la primera columna queda un determinante de orden 3, y de cada columna sale un factor común:

$=(y-x)(z-x)(t-x)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ y & z & t \\ y^{2} & z^{2} & t^{2} \end{vmatrix}$

El determinante que queda es de nuevo de Vandermonde, ahora de orden 3. Se repite el procedimiento restando a cada fila la anterior multiplicada por $y$:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & z-y & t-y \\ 0 & z(z-y) & t(t-y) \end{vmatrix}=(z-y)(t-y)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ z & t \end{vmatrix}=(z-y)(t-y)(t-z)$

Juntando los dos pasos:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & y & z & t \\ x^{2} & y^{2} & z^{2} & t^{2} \\ x^{3} & y^{3} & z^{3} & t^{3} \end{vmatrix}=(y-x)(z-x)(t-x)(z-y)(t-y)(t-z)$

Es decir, el producto de todas las diferencias entre los cuatro números, tomadas siempre restando el que aparece antes al que aparece después. De aquí se sigue que el determinante es nulo si y solo si dos de los cuatro coinciden.