Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2020

Sean $A=\begin{pmatrix} -13 & 5 \\ 10 & -5 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$. [2 puntos]

a) Halle $X$ e $Y$, matrices soluciones del sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} 3X-5Y=A, \\ -X+2Y=B. \end{cases}$

b) Calcule, si existen, las matrices inversas de $X$ e $Y$.

$\textbf{a) Halle } \boldsymbol{X}\textbf{ e } \boldsymbol{Y}\textbf{, matrices soluciones del sistema } \boldsymbol{\begin{cases} 3X-5Y=A \\ -X+2Y=B \end{cases}}\textbf{, con } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix} -13 & 5 \\ 10 & -5 \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{B=\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}}$

El sistema es lineal en las incógnitas matriciales, así que se resuelve por reducción como uno numérico. Multiplicando la segunda ecuación por 3 y sumándola a la primera desaparece $X$:

$3X-5Y=A$

$-3X+6Y=3B$

$Y=A+3B$

$Y=\begin{pmatrix} -13 & 5 \\ 10 & -5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 15 & -6 \\ -12 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

De la segunda ecuación se despeja $X=2Y-B$:

$X=\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Se comprueba en la primera ecuación:

$3X-5Y=\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 10 & -5 \\ -10 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -13 & 5 \\ 10 & -5 \end{pmatrix}=A$

$\textbf{b) Calcule, si existen, las matrices inversas de } \boldsymbol{X}\textbf{ e } \boldsymbol{Y}\textbf{.}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que basta calcularlos.

$|X|=\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}=(-1)\cdot 0-0\cdot 0=0$

$|Y|=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}=2\cdot 1-(-1)(-2)=2-2=0$

Los dos determinantes se anulan, de modo que ni $X$ ni $Y$ tienen inversa.

Se ve también sin calcular nada: $X$ tiene una fila entera de ceros, e $Y$ tiene la segunda fila igual a la primera cambiada de signo. En ambos casos las filas son linealmente dependientes y el rango es menor que 2.