Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2020

Sea la matriz $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix}$, con $m \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$. [2 puntos]

a) Halle $\alpha$ y $\beta$ de tal forma que $A^{2}=\alpha A+\beta I$, siendo $I$ la matriz identidad.

b) Calcule $A^{5}$ utilizando la anterior identidad.

$\textbf{a) Halle } \boldsymbol{\alpha}\textbf{ y } \boldsymbol{\beta}\textbf{ de tal forma que } \boldsymbol{A^{2}=\alpha A+\beta I}\textbf{, siendo } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix}}\textbf{ e } \boldsymbol{I}\textbf{ la matriz identidad.}$

Se calcula primero el cuadrado de la matriz:

$A^{2}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4m & 0 & 4 \end{pmatrix}$

Y el segundo miembro de la identidad que se quiere:

$\alpha A+\beta I=\begin{pmatrix} 2\alpha+\beta & 0 & 0 \\ 0 & 2\alpha+\beta & 0 \\ \alpha m & 0 & 2\alpha+\beta \end{pmatrix}$

Igualando elemento a elemento quedan dos condiciones distintas:

$\begin{cases} 2\alpha+\beta=4 \\ \alpha m=4m \end{cases}$

Como el enunciado excluye $m=0$, se puede dividir por $m$ en la segunda:

$\alpha=4 \Rightarrow \beta=4-8=-4$

$A^{2}=4A-4I$

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{A^{5}}\textbf{ utilizando la anterior identidad.}$

La identidad permite bajar cualquier potencia a una combinación de $A$ e $I$, multiplicando repetidamente por $A$ y volviendo a sustituir $A^{2}$ cada vez que aparece.

$A^{3}=A\cdot A^{2}=A(4A-4I)=4A^{2}-4A=4(4A-4I)-4A=12A-16I$

$A^{4}=A\cdot A^{3}=12A^{2}-16A=12(4A-4I)-16A=32A-48I$

$A^{5}=A\cdot A^{4}=32A^{2}-48A=32(4A-4I)-48A=80A-128I$

Sustituyendo la matriz:

$A^{5}=80\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix}-128\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 32 & 0 & 0 \\ 0 & 32 & 0 \\ 80m & 0 & 32 \end{pmatrix}$