Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2021

Halle las matrices $A-B$, $A$ y $B$, sabiendo que las matrices $A$ y $B$ satisfacen las siguientes identidades: [2 puntos]

$A+B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^{2}-AB+BA-B^{2}=\begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\textbf{Halle las matrices } \boldsymbol{A-B}\textbf{, } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{, sabiendo que } \boldsymbol{A+B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{A^{2}-AB+BA-B^{2}=\begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$

La clave está en reconocer que el segundo dato se factoriza. Con matrices no vale la identidad $A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$, porque el producto no es conmutativo, pero sí la siguiente, que es la que aparece en el enunciado:

$(A+B)(A-B)=A^{2}-AB+BA-B^{2}$

Llamando $S=A+B$ y $T=A-B$, el problema se reduce a resolver $S\,T=P$, donde $P$ es la segunda matriz dada.

$|S|=\begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}=-1\cdot\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=-1\neq 0$

luego $S$ tiene inversa y se puede despejar multiplicando por la izquierda:

$T=S^{-1}P$

Se calcula la inversa por el método de la matriz adjunta:

$S^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

como se comprueba multiplicando: $S\,S^{-1}=I$.

$A-B=T=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Conocidas la suma y la diferencia, cada matriz sale de la semisuma y la semidiferencia:

$A=\dfrac{1}{2}\left(S+T\right)=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -2 & 0 & -3 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & -\frac{3}{2} \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

$B=\dfrac{1}{2}\left(S-T\right)=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -2 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ -1 & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Se comprueba que $A+B$ es la matriz del enunciado y que $A-B$ es la $T$ calculada.