Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2021

Sabiendo que $|A|=1$, donde $A=\begin{pmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, calcule el determinante de la matriz [2 puntos]

$B=\begin{pmatrix} x & y & z \\ x+1 & y+1 & z+1 \\ 2(x+a) & 2(y+b) & 2(z+c) \end{pmatrix}$

Calcule también $\left|4B^{-1}A^{T}\right|^{2}$.

$\textbf{Sabiendo que } \boldsymbol{|A|=1}\textbf{, con } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{, calcule el determinante de } \boldsymbol{B=\begin{pmatrix} x & y & z \\ x+1 & y+1 & z+1 \\ 2(x+a) & 2(y+b) & 2(z+c) \end{pmatrix}}\textbf{ y también } \boldsymbol{\left|4B^{-1}A^{T}\right|^{2}}\textbf{. [2 puntos]}$

Se llaman $F_{1}=(x,y,z)$, $F_{2}=(a,b,c)$ y $F_{3}=(1,1,1)$ a las filas de $A$. Las filas de $B$ se escriben con ellas:

$B=\begin{pmatrix} F_{1} \\ F_{1}+F_{3} \\ 2\left(F_{1}+F_{2}\right) \end{pmatrix}$

El determinante es lineal en cada fila, de modo que el factor 2 de la tercera sale fuera y las sumas se reparten:

$|B|=2\left|\begin{matrix} F_{1} \\ F_{1}+F_{3} \\ F_{1}+F_{2} \end{matrix}\right|$

Desarrollando por la segunda fila y luego por la tercera se obtienen cuatro determinantes:

$\left|\begin{matrix} F_{1} \\ F_{1}+F_{3} \\ F_{1}+F_{2} \end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix} F_{1} \\ F_{1} \\ F_{1} \end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix} F_{1} \\ F_{1} \\ F_{2} \end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix} F_{1} \\ F_{3} \\ F_{1} \end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix} F_{1} \\ F_{3} \\ F_{2} \end{matrix}\right|$

Los tres primeros tienen dos filas repetidas, así que valen cero. El cuarto es el de $A$ con las filas segunda y tercera intercambiadas, lo que cambia el signo:

$\left|\begin{matrix} F_{1} \\ F_{3} \\ F_{2} \end{matrix}\right|=-\left|\begin{matrix} F_{1} \\ F_{2} \\ F_{3} \end{matrix}\right|=-|A|=-1$

$|B|=2\cdot(-1)=-2$

Para la segunda parte se usan tres propiedades: el determinante de un producto es el producto de los determinantes, el de la inversa es el inverso, y al multiplicar una matriz de orden 3 por un número el determinante queda multiplicado por el cubo de ese número.

$\left|4B^{-1}A^{T}\right|=4^{3}\cdot\left|B^{-1}\right|\cdot\left|A^{T}\right|=64\cdot\dfrac{1}{|B|}\cdot|A|$

$=64\cdot\dfrac{1}{-2}\cdot 1=-32$

$\left|4B^{-1}A^{T}\right|^{2}=(-32)^{2}=1024$