Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2021

Halle $A$ y $B$, matrices soluciones del sistema de ecuaciones [2 puntos]

$\begin{cases} 3A-5B=C, \\ -A+3B=D, \end{cases}$

donde $C$ y $D$ son las matrices

$C=\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 7 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

Determine la matriz inversa de $C^{T}D$, donde $C^{T}$ es la matriz traspuesta de $C$.

$\textbf{Halle } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{, matrices soluciones del sistema } \boldsymbol{\begin{cases} 3A-5B=C \\ -A+3B=D \end{cases}}\textbf{. Determine la matriz inversa de } \boldsymbol{C^{T}D}\textbf{. [2 puntos]}$

El sistema es lineal en las incógnitas matriciales, de modo que se resuelve por reducción igual que uno numérico. Multiplicando la segunda ecuación por 3 y sumándola a la primera desaparece $A$:

$3A-5B=C$

$-3A+9B=3D$

$4B=C+3D \Rightarrow B=\dfrac{1}{4}\left(C+3D\right)$

$C+3D=\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 7 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6 & 12 \\ 9 & 0 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 8 \\ 16 & 4 \\ -4 & 8 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

De la segunda ecuación se despeja $A=3B-D$:

$A=\begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 12 & 3 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 9 & 3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$

Se comprueba en la primera ecuación: $3A-5B=\begin{pmatrix} 12-10 & 6-10 \\ 27-20 & 9-5 \\ -6+5 & 12-10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 7 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=C$.

Para la última parte se calcula primero el producto. Como $C^{T}$ es $2\times 3$ y $D$ es $3\times 2$, el resultado es una matriz cuadrada de orden 2 y tiene sentido su inversa.

$C^{T}D=\begin{pmatrix} 2 & 7 & -1 \\ -4 & 4 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 26 & 6 \\ 2 & -12 \end{pmatrix}$

$\left|C^{T}D\right|=26\cdot(-12)-6\cdot 2=-312-12=-324\neq 0$

Para una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando la diagonal principal, cambiando de signo la secundaria y dividiendo por el determinante:

$\left(C^{T}D\right)^{-1}=\dfrac{1}{-324}\begin{pmatrix} -12 & -6 \\ -2 & 26 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{27} & \frac{1}{54} \\ \frac{1}{162} & -\frac{13}{162} \end{pmatrix}$