Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Estudie, según los valores del parámetro real $a$, la posición relativa de las rectas siguientes: [2 puntos]

$r\equiv \{\begin{array}{l}ax+3y-2z=12,\\ 2x+5y-z=6,\end{array}s\equiv \{\begin{array}{l}x=5+3\lambda ,\\ y=1-\lambda ,\\ z=6+4\lambda \mathrm{.}\end{array}$

Se empieza por poner las dos rectas en el mismo lenguaje. De $s$ se leen directamente punto y director; de $r$, el director es el producto vectorial de los dos normales.

$s:B(5,1,6),{\vec{v}}_s=(3,-1,4)$

${\vec{v}}_r=(a,3,-2)\times (2,5,-1)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a& 3& -2\\ 2& 5& -1\end{array}\mid =(-3+10,-4+a,5a-6)=(7,a-4,5a-6)$

$\mathbf{\text{¿Pueden}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{paralelas?}}$

Lo serían si los dos directores fuesen proporcionales. De la primera componente, $7=3k$, saldría $k={\displaystyle \frac{7}{3}}$; de la segunda, $a-4=-{\displaystyle \frac{7}{3}}$, es decir $a={\displaystyle \frac{5}{3}}$; y de la tercera, $5a-6={\displaystyle \frac{28}{3}}$, es decir $a={\displaystyle \frac{46}{15}}$. Los dos valores no coinciden, de modo que las rectas no son paralelas ni coincidentes para ningún valor de $a$: o se cortan o se cruzan.

$\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cortan?}}$

Se cortan cuando el sistema formado por las cuatro ecuaciones —las dos de $r$ y dos que describan $s$— es compatible. Se pasa $s$ a implícitas eliminando el parámetro: de las dos primeras coordenadas, $x+3y=5+3\lambda +3-3\lambda =8$, y de las dos últimas, $4y+z=4-4\lambda +6+4\lambda =10$.

$s:\{\begin{array}{l}x+3y=8\\ 4y+z=10\end{array}$

La matriz ampliada del sistema de cuatro ecuaciones es

$M^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}a& 3& -2& 12\\ 2& 5& -1& 6\\ 1& 3& 0& 8\\ 0& 4& 1& 10\end{array}\right)$

y las rectas son coplanarias —se cortan, puesto que ya se ha descartado el paralelismo— exactamente cuando ese determinante se anula:

$\mathrm{\mid }{M}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=96-24a$

$\mathrm{\mid }{M}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=4$



El rango de la matriz de coeficientes es 3 y el de la ampliada también, así que el sistema es compatible determinado y el punto común es único. Resolviendo:

$\{\begin{array}{l}x+3y=8\\ 4y+z=10\\ 2x+5y-z=6\end{array}$

De la primera, $x=8-3y$; de la segunda, $z=10-4y$. Sustituyendo en la tercera:

$2(8-3y)+5y-(10-4y)=6\Rightarrow 16-6y+5y-10+4y=6\Rightarrow 3y=0\Rightarrow y=0$

$x=8,z=10$

Las rectas se cortan en el punto $(8,0,10)$. Se comprueba en la primera ecuación de $r$: $4\cdot 8+0-2\cdot 10=32-20=12$.



El determinante de la ampliada no se anula, luego el rango de la ampliada es 4 y el de los coeficientes 3: el sistema es incompatible. Las rectas no tienen ningún punto común y, al no ser paralelas, se cruzan.