Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2022

Resuelva la siguiente ecuación matricial: [2 puntos]

$\begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot X=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\textbf{Resuelva la ecuación matricial } \boldsymbol{\begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot X=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$

Llamando $A$ a la matriz de la izquierda y $B$ a la de la derecha, la ecuación es $AX=B$. Si $A$ tiene inversa, se despeja multiplicando por la izquierda —el orden importa, porque el producto de matrices no es conmutativo—:

$A^{-1}AX=A^{-1}B \Rightarrow X=A^{-1}B$

Se comprueba primero que la inversa existe, desarrollando el determinante por la segunda fila, que tiene dos ceros:

$|A|=\begin{vmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{2+3}\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=-(5-6)=1\neq 0$

Se calcula la inversa por el método de la matriz adjunta, $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\left(\text{Adj}\,A\right)^{T}$. Los nueve adjuntos son

$A_{11}=\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=-1,\quad A_{12}=-\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}=3,\quad A_{13}=\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=0$

$A_{21}=-\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=0,\quad A_{22}=\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}=0,\quad A_{23}=-\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=1$

$A_{31}=\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=2,\quad A_{32}=-\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=-5,\quad A_{33}=\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}=0$

Como el determinante vale 1, la inversa es directamente la traspuesta de la matriz de adjuntos:

$A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Finalmente se multiplica:

$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$\begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$