Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2022

Calcule sin desarrollar el valor del siguiente determinante: [2 puntos]

$\begin{vmatrix} 2 & b & c+a \\ 2 & a & b+c \\ 2 & c & a+b \end{vmatrix}$

Justifique en cada paso la propiedad de los determinantes que ha utilizado.

$\textbf{Calcule sin desarrollar el valor del determinante } \boldsymbol{\begin{vmatrix} 2 & b & c+a \\ 2 & a & b+c \\ 2 & c & a+b \end{vmatrix}}\textbf{, justificando en cada paso la propiedad utilizada. [2 puntos]}$

Se trabaja con las propiedades de los determinantes, sin llegar a desarrollar ninguno.

i) La primera columna tiene todos sus elementos iguales a 2. Como el determinante es lineal en cada línea, un factor común a toda una columna sale fuera:

$\begin{vmatrix} 2 & b & c+a \\ 2 & a & b+c \\ 2 & c & a+b \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 1 & b & c+a \\ 1 & a & b+c \\ 1 & c & a+b \end{vmatrix}$

ii) El determinante no varía si a una línea se le suma otra multiplicada por un número. Se suma la segunda columna a la tercera, y en cada fila aparece la misma suma:

$=2\begin{vmatrix} 1 & b & a+b+c \\ 1 & a & a+b+c \\ 1 & c & a+b+c \end{vmatrix}$

iii) Se saca ahora el factor común de la tercera columna, por la misma propiedad de i):

$=2(a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & b & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & c & 1 \end{vmatrix}$

iv) Un determinante con dos líneas paralelas iguales es nulo, y aquí la primera y la tercera columna coinciden:

$\begin{vmatrix} 1 & b & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & c & 1 \end{vmatrix}=0$

Por lo tanto, cualesquiera que sean $a$, $b$ y $c$,

$\begin{vmatrix} 2 & b & c+a \\ 2 & a & b+c \\ 2 & c & a+b \end{vmatrix}=2(a+b+c)\cdot 0=0$

El determinante vale 0. La razón de fondo es que la suma de la segunda y la tercera columna es proporcional a la primera, es decir, las tres columnas son linealmente dependientes.