Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2022

Sean las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$. [2 puntos]

i) Determine para qué valores de $a$ la matriz $AB$ tiene inversa.

ii) Resuelva para $a=0$ la ecuación matricial $ABX=3I$, siendo $I$ la matriz identidad.

$\textbf{i) Determine para qué valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ la matriz } \boldsymbol{AB}\textbf{ tiene inversa.}$

Antes de nada hay que comprobar que el producto se puede hacer y de qué tamaño sale: $A$ es $2\times 3$ y $B$ es $3\times 2$, de modo que $AB$ es una matriz cuadrada de orden 2 y tiene sentido hablar de su inversa.

$AB=\begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+6 & 2a+4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula:

$|AB|=\begin{vmatrix} a+6 & 2a+4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=(a+6)-2(2a+4)=a+6-4a-8=-3a-2$

$-3a-2=0 \Rightarrow a=-\dfrac{2}{3}$

Por tanto $AB$ tiene inversa para todo $a\neq-\dfrac{2}{3}$.

$\textbf{ii) Resuelva para } \boldsymbol{a=0}\textbf{ la ecuación matricial } \boldsymbol{ABX=3I}\textbf{, siendo } \boldsymbol{I}\textbf{ la matriz identidad.}$

Para $a=0$ se tiene $a\neq-\frac{2}{3}$, así que $AB$ es invertible y se puede despejar multiplicando por la izquierda:

$AB\,X=3I \Rightarrow (AB)^{-1}AB\,X=3(AB)^{-1}I \Rightarrow X=3(AB)^{-1}$

Con $a=0$:

$AB=\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},\qquad |AB|=6-8=-2$

Para una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando la diagonal principal, cambiando de signo la secundaria y dividiendo por el determinante:

$(AB)^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$

$X=3\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & 6 \\ 3 & -9 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & 6 \\ 3 & -9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}=3I$