Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2023

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$, calcule $A^{-1}$ y $A^{20}$ utilizando necesariamente la identidad $A^{3}=-I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden tres. [2 puntos]

$\textbf{Dada la matriz } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}}\textbf{, calcule } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{ y } \boldsymbol{A^{20}}\textbf{ utilizando necesariamente la identidad } \boldsymbol{A^{3}=-I}\textbf{. [2 puntos]}$

Toda la cuestión se apoya en la identidad que da el enunciado, de modo que no hace falta ni calcular determinantes ni multiplicar veinte veces. Primero se obtiene $A^{2}$, que es la única potencia que va a hacer falta:

$A^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}$

Para la inversa se escribe la identidad separando un factor $A$:

$A^{3}=-I \Rightarrow A\cdot A^{2}=-I \Rightarrow A\cdot\left(-A^{2}\right)=I$

Por definición de matriz inversa, y como el producto también funciona por el otro lado, esto dice que

$A^{-1}=-A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

De paso queda probado que $A$ es invertible, sin calcular su determinante.

Para la potencia se divide 20 entre 3, que es el periodo que impone la identidad:

$20=3\cdot 6+2 \Rightarrow A^{20}=\left(A^{3}\right)^{6}\cdot A^{2}$

$\left(A^{3}\right)^{6}=(-I)^{6}=I$

porque el exponente es par y $(-I)^{2}=I$. Por tanto

$A^{20}=I\cdot A^{2}=A^{2}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}$