Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2023

Determine para qué valores del parámetro real $a$ la matriz [2 puntos]

$A=\begin{pmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \\ a+1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

tiene inversa. Calcule, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $a=2$.

$\textbf{Determine para qué valores del parámetro real } \boldsymbol{a}\textbf{ la matriz } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \\ a+1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{ tiene inversa. Calcule, si es posible, la matriz inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{ para } \boldsymbol{a=2}\textbf{. [2 puntos]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. En esta las tres filas suman lo mismo, así que conviene sumar a la primera columna las otras dos y sacar el factor común:

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \\ a+1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a+3 & a+1 & 1 \\ a+3 & 1 & a+1 \\ a+3 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(a+3)\begin{vmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

Restando la tercera fila a las dos primeras aparecen dos ceros por fila:

$=(a+3)\begin{vmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(a+3)\cdot 1\cdot\begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{vmatrix}=a^{2}(a+3)$

$|A|=0 \Rightarrow a=0 \quad\text{o}\quad a=-3$

Por tanto $A$ tiene inversa para todo $a\neq 0$ y $a\neq -3$.

Para $a=2$ el determinante vale $2^{2}\cdot 5=20\neq 0$, luego la inversa existe. La matriz es

$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Se calcula por el método de la matriz adjunta, $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\left(\text{Adj}\,A\right)^{T}$. Los nueve adjuntos son

$A_{11}=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-2,\quad A_{12}=-\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=8,\quad A_{13}=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=-2$

$A_{21}=-\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-2,\quad A_{22}=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=-2,\quad A_{23}=-\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=8$

$A_{31}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=8,\quad A_{32}=-\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=-2,\quad A_{33}=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-2$

Colocando los adjuntos traspuestos y dividiendo por el determinante:

$A^{-1}=\dfrac{1}{20}\begin{pmatrix} -2 & -2 & 8 \\ 8 & -2 & -2 \\ -2 & 8 & -2 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 4 \\ 4 & -1 & -1 \\ -1 & 4 & -1 \end{pmatrix}$

Se comprueba con la primera fila de $A$: $(1,3,1)\cdot\frac{1}{10}(-1,4,-1)=\frac{-1+12-1}{10}=1$, y las otras dos columnas dan cero.