Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2023

Determine para qué valores del parámetro real $a$ la matriz [2 puntos]

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ a-1 & a^{2}-1 & 1 \\ a^{2}-1 & a-1 & a+1 \end{pmatrix}$

tiene inversa. Calcule, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $a=2$.

$\textbf{Determine para qué valores del parámetro real } \boldsymbol{a}\textbf{ la matriz } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ a-1 & a^{2}-1 & 1 \\ a^{2}-1 & a-1 & a+1 \end{pmatrix}}\textbf{ tiene inversa. Calcule, si es posible, la matriz inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{ para } \boldsymbol{a=2}\textbf{. [2 puntos]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Se desarrolla por la primera fila, que tiene un cero:

$|A|=1\cdot\begin{vmatrix} a^{2}-1 & 1 \\ a-1 & a+1 \end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix} a-1 & 1 \\ a^{2}-1 & a+1 \end{vmatrix}$

$=\left[\left(a^{2}-1\right)(a+1)-(a-1)\right]-\left[\left(a-1\right)(a+1)-\left(a^{2}-1\right)\right]$

El segundo corchete es cero, porque $(a-1)(a+1)=a^{2}-1$. Queda

$|A|=\left(a^{2}-1\right)(a+1)-(a-1)=(a-1)\left[(a+1)^{2}-1\right]=(a-1)\left(a^{2}+2a\right)$

$|A|=a(a-1)(a+2)$

$|A|=0 \Rightarrow a=0,\ a=1 \ \text{o}\ a=-2$

Por tanto $A$ tiene inversa para todo $a\neq 0$, $a\neq 1$ y $a\neq -2$.

Para $a=2$ el determinante vale $2\cdot 1\cdot 4=8\neq 0$, así que la inversa existe. La matriz es

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

Se calcula por el método de la matriz adjunta, $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\left(\text{Adj}\,A\right)^{T}$. Los nueve adjuntos son

$A_{11}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=8,\quad A_{12}=-\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix}=0,\quad A_{13}=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=-8$

$A_{21}=-\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=-3,\quad A_{22}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 3 \end{vmatrix}=3,\quad A_{23}=-\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=2$

$A_{31}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=1,\quad A_{32}=-\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-1,\quad A_{33}=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=2$

Colocando los adjuntos traspuestos y dividiendo por el determinante:

$A^{-1}=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix} 8 & -3 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ -8 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

Se comprueba multiplicando por $A$:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix} 8 & -3 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ -8 & 2 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$