Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2023

Dada una matriz de tamaño $4 \times 4$ cuyo determinante es igual a 2, calcule el valor del determinante de la matriz resultante al realizar las siguientes operaciones: [2 puntos]

i) se traspone la matriz;

ii) se cambian entre sí la primera y la cuarta columna;

iii) se multiplica la tercera columna por $-4$;

iv) se multiplica toda la matriz por 4.

Sea $A$ la matriz de partida, de tamaño $4\times 4$ y con $|A|=2$. Cada apartado aplica una propiedad distinta de los determinantes a esa misma matriz.

$\textbf{i) Se traspone la matriz.}$

El determinante de una matriz y el de su traspuesta coinciden, porque las filas de una son las columnas de la otra y el determinante trata igual a unas y a otras.

$\left|A^{T}\right|=|A|=2$

$\textbf{ii) Se cambian entre sí la primera y la cuarta columna.}$

Al intercambiar dos líneas paralelas el determinante cambia de signo.

$|B|=-|A|=-2$

$\textbf{iii) Se multiplica la tercera columna por } \boldsymbol{-4}\textbf{.}$

Si se multiplica una sola línea por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.

$|C|=-4\cdot|A|=-4\cdot 2=-8$

$\textbf{iv) Se multiplica toda la matriz por 4.}$

Multiplicar la matriz por 4 es multiplicar por 4 cada una de sus cuatro filas, de modo que el factor sale cuatro veces:

$|4A|=4^{4}\,|A|=256\cdot 2=512$

Es el error clásico dar $4\cdot 2=8$: el exponente es el orden de la matriz.

Los determinantes pedidos valen, respectivamente, $2$, $-2$, $-8$ y $512$.