Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2024

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} a-4 & -1 \\ 0 & 2a \end{pmatrix}$, halle $a$ para que $A^{2}-A=12I+B$, con $I$ la matriz identidad de orden 2. A continuación, halle la matriz $X$ tal que $XA=AX=I$. [2 puntos]

$\textbf{Dadas las matrices } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{B=\begin{pmatrix} a-4 & -1 \\ 0 & 2a \end{pmatrix}}\textbf{, halle } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{A^{2}-A=12I+B}\textbf{. A continuación, halle la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ tal que } \boldsymbol{XA=AX=I}\textbf{. [2 puntos]}$

Se calcula primero el cuadrado de $A$:

$A^{2}=\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^{2} & a-a \\ 0 & a^{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^{2} & 0 \\ 0 & a^{2} \end{pmatrix}$

Ahora los dos miembros de la igualdad:

$A^{2}-A=\begin{pmatrix} a^{2}-a & -1 \\ 0 & a^{2}+a \end{pmatrix}$

$12I+B=\begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a-4 & -1 \\ 0 & 2a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+8 & -1 \\ 0 & 2a+12 \end{pmatrix}$

Dos matrices son iguales cuando lo son elemento a elemento. Los de la primera fila segunda columna ya coinciden, y los de la diagonal dan dos ecuaciones:

$a^{2}-a=a+8 \Rightarrow a^{2}-2a-8=0 \Rightarrow a=\dfrac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}=\dfrac{2\pm 6}{2} \Rightarrow a=4 \ \text{o}\ a=-2$

$a^{2}+a=2a+12 \Rightarrow a^{2}-a-12=0 \Rightarrow a=\dfrac{1\pm\sqrt{1+48}}{2}=\dfrac{1\pm 7}{2} \Rightarrow a=4 \ \text{o}\ a=-3$

La igualdad exige que se cumplan las dos a la vez, y el único valor común es

$a=4$

Para la segunda parte, la matriz $X$ que cumple $XA=AX=I$ es por definición la inversa de $A$. Con $a=4$:

$A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & -4 \end{pmatrix},\qquad |A|=-16\neq 0$

luego la inversa existe. Para una matriz de orden 2:

$X=A^{-1}=\dfrac{1}{-16}\begin{pmatrix} -4 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/4 & 1/16 \\ 0 & -1/4 \end{pmatrix}$

Se comprueba el producto:

$\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/4 & 1/16 \\ 0 & -1/4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{16}-\frac{1}{4} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$

La igualdad se cumple para $a=4$, y entonces $X=\begin{pmatrix} 1/4 & 1/16 \\ 0 & -1/4 \end{pmatrix}$.