Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2024

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix} 3/5 & x & 0 \\ y & -3/5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, halle $x$ e $y$ para que su inversa, $A^{-1}$, coincida con su traspuesta, $A^{T}$. En tal caso, halle $A^{T}A^{2}-2A$. [2 puntos]

$\textbf{Dada la matriz } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix} 3/5 & x & 0 \\ y & -3/5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{, halle } \boldsymbol{x}\textbf{ e } \boldsymbol{y}\textbf{ para que su inversa, } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{, coincida con su traspuesta, } \boldsymbol{A^{T}}\textbf{. En tal caso, halle } \boldsymbol{A^{T}A^{2}-2A}\textbf{. [2 puntos]}$

Pedir que la inversa coincida con la traspuesta equivale a pedir que el producto de la matriz por su traspuesta sea la identidad, que es la condición de matriz ortogonal. Así se evita calcular la inversa:

$A^{-1}=A^{T} \iff A\,A^{T}=I$

Se efectúa el producto:

$A\,A^{T}=\begin{pmatrix} 3/5 & x & 0 \\ y & -3/5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3/5 & y & 0 \\ x & -3/5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{9}{25}+x^{2} & \frac{3}{5}y-\frac{3}{5}x & 0 \\ \frac{3}{5}y-\frac{3}{5}x & y^{2}+\frac{9}{25} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Igualando a la identidad se obtienen tres condiciones:

$\begin{cases} \dfrac{9}{25}+x^{2}=1 \\ y^{2}+\dfrac{9}{25}=1 \\ \dfrac{3}{5}(y-x)=0 \end{cases}$

De las dos primeras, $x^{2}=y^{2}=\dfrac{16}{25}$, es decir $x=\pm\dfrac{4}{5}$ e $y=\pm\dfrac{4}{5}$; la tercera obliga a que $y=x$. Hay por tanto dos soluciones:

$x=y=\dfrac{4}{5} \qquad\text{o}\qquad x=y=-\dfrac{4}{5}$

Para la segunda parte no hace falta multiplicar nada. Como $A^{T}=A^{-1}$:

$A^{T}A^{2}=A^{-1}A\,A=I\,A=A$

$A^{T}A^{2}-2A=A-2A=-A$

Escribiendo el resultado en cada uno de los dos casos:

$x=y=\dfrac{4}{5} \Rightarrow A^{T}A^{2}-2A=\begin{pmatrix} -3/5 & -4/5 & 0 \\ -4/5 & 3/5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$x=y=-\dfrac{4}{5} \Rightarrow A^{T}A^{2}-2A=\begin{pmatrix} -3/5 & 4/5 & 0 \\ 4/5 & 3/5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

En los dos casos la matriz pedida es $-A$.