Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2025

a) Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 8 & -9 \\ 6 & -7 \end{pmatrix}$, halle las matrices $X$ y $X^{-1}$ tales que $XAX^{-1}=B$. [1,25 puntos]

b) Determine la relación entre $a$ y $b$, con $a,\,b \in \mathbb{R}$ conocidos, para que el sistema sea compatible. ¿Puede ser compatible determinado? [1,25 puntos]

$\begin{cases} 2x+y-3z=a \\ -2x-y+3z=b \end{cases}$

$\textbf{a) Halle las matrices } \boldsymbol{X}\textbf{ y } \boldsymbol{X^{-1}}\textbf{ tales que } \boldsymbol{XAX^{-1}=B}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Conviene quitar la inversa multiplicando por la derecha por $X$, con lo que la ecuación se vuelve lineal en los elementos de la incógnita:

$XAX^{-1}=B \Rightarrow XA=BX$

Se escribe la matriz genérica y se calculan los dos productos:

$X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow XA=\begin{pmatrix} 2a & -b \\ 2c & -d \end{pmatrix}$

$BX=\begin{pmatrix} 8a-9c & 8b-9d \\ 6a-7c & 6b-7d \end{pmatrix}$

Igualando término a término:

$\begin{cases} 2a=8a-9c \\ -b=8b-9d \\ 2c=6a-7c \\ -d=6b-7d \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9c=6a \\ 9d=9b \\ 9c=6a \\ 6d=6b \end{cases}$

Las cuatro se reducen a dos condiciones:

$c=\dfrac{2a}{3};\qquad d=b$

Hay, por tanto, infinitas soluciones. Basta elegir una que sea regular; tomando $a=3$ y $b=1$:

$X=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},\qquad |X|=3-2=1\neq 0$

$X^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$XAX^{-1}=\begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & -9 \\ 6 & -7 \end{pmatrix}=B$

Las matrices $A$ y $B$ son semejantes, cosa coherente con que tengan la misma traza, $1$, y el mismo determinante, $-2$.

$\textbf{b) Determine la relación entre } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{, con } \boldsymbol{a,\,b \in \mathbb{R}}\textbf{ conocidos, para que el sistema sea compatible. ¿Puede ser compatible determinado? [1,25 puntos]}$

Se observa que el primer miembro de la segunda ecuación es el opuesto del de la primera:

$-2x-y+3z=-(2x+y-3z)$

De modo que si se suman las dos ecuaciones el primer miembro desaparece:

$0=a+b$

Si $a+b\neq 0$ se llega a una igualdad falsa y el sistema es incompatible.

Si $a+b=0$, es decir $b=-a$, la segunda ecuación es la primera multiplicada por $-1$: es redundante y el sistema se reduce a una sola ecuación con tres incógnitas.

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{*})=1<3=\text{número de incógnitas}$

El sistema es compatible si y solo si $a+b=0$, y en ese caso es siempre compatible indeterminado con dos grados de libertad. Nunca puede ser compatible determinado, porque el rango de la matriz de coeficientes no pasa de 1 y hay tres incógnitas.