Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2025

a) Dada la matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$, estudie el rango de la matriz $A-\lambda I$ según los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1,25 puntos]

b) Dada la matriz [1,25 puntos]

$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -1 \end{pmatrix}$

calcule su determinante. ¿Qué solución tiene el sistema $AX=b$ siendo $b=(0,0,0,0)^{T}$? Nota: $b^{T}$ denota la matriz traspuesta de $b$.

$\textbf{a) Estudie el rango de la matriz } \boldsymbol{A-\lambda I}\textbf{ según los valores de } \boldsymbol{\lambda \in \mathbb{R}}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Se escribe la matriz y se calcula su determinante. Conviene desarrollar por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo.

$A-\lambda I=\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 1 \\ 1 & 1-\lambda & -1 \\ 1 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix}$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda)\begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix}$

$=(1-\lambda)\left[(1-\lambda)(3-\lambda)-1\right]=(1-\lambda)\left(\lambda^{2}-4\lambda+2\right)$

$|A-\lambda I|=0 \Rightarrow \begin{cases} \lambda=1 \\ \lambda^{2}-4\lambda+2=0 \end{cases}$

$\lambda=\dfrac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}=\dfrac{4\pm 2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}$

Para los demás valores el determinante no se anula y el rango es 3.

Falta ver el rango en los tres valores críticos. En todos ellos queda un menor de orden 2 no nulo, así que el rango baja exactamente a 2:

Para $\lambda=1$ la matriz es $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ y el menor $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-1\neq 0$.

Para $\lambda=2\pm\sqrt{2}$ el menor formado por las dos primeras filas y columnas vale $(1-\lambda)^{2}\neq 0$, porque $\lambda\neq 1$.

Resumiendo: el rango de $A-\lambda I$ es 3 si $\lambda\neq 1$, $\lambda\neq 2+\sqrt{2}$ y $\lambda\neq 2-\sqrt{2}$, y es 2 en esos tres valores.

$\textbf{b) Calcule su determinante. ¿Qué solución tiene el sistema } \boldsymbol{AX=b}\textbf{ siendo } \boldsymbol{b=(0,0,0,0)^{T}}\textbf{? [1,25 puntos]}$

Se calcula el determinante de orden 4 desarrollando por la primera columna, que tiene dos ceros:

$|A|=1\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -1 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -1 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -1 \end{vmatrix}=1(1-8)-3(-1-0)+1(4-0)=-7+3+4=0$

$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -1 \end{vmatrix}=-1(1-8)-2(-1-0)+0=7+2=9$

$|A|=1\cdot 0-2\cdot 9=-18$

El sistema $AX=b$ es homogéneo, luego siempre es compatible. Como el determinante de la matriz de coeficientes no se anula, el rango es 4 y coincide con el número de incógnitas:

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{*})=4=\text{número de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial:

$X=(0,0,0,0)^{T}$