Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2026

a) Dos productos $A$ y $B$ compiten en el mercado. Sus demandas $x_a$ y $x_b$ están relacionadas con sus precios, $p_a$ y $p_b$, por las siguientes ecuaciones de demanda:

$x_a = 17 - 2p_a + \frac{1}{2}p_b, \qquad x_b = 20 - 3p_b + \frac{1}{2}p_a$

Las ecuaciones de oferta son:

$p_a = 2 + x_a + \frac{1}{3}x_b, \qquad p_b = 2 + \frac{1}{2}x_b + \frac{1}{4}x_a$

que dan los precios a los cuales las cantidades $x_a$ e $x_b$ estarán disponibles en el mercado. Calcule los valores de equilibrio de $x_a$, $x_b$, $p_a$ y $p_b$ que resuelven el sistema planteado: [1 punto]

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3 \\ -1 & -1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_a \\ x_b \\ p_a \\ p_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 20 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

b) Dada la matriz $X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, calcule $A = I_4 - X(X^{t}X)^{-1}X^{t}$ y compruebe que es idempotente, es decir, que $A^{2}=A$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule los valores de equilibrio de } \boldsymbol{x_a}\textbf{, } \boldsymbol{x_b}\textbf{, } \boldsymbol{p_a}\textbf{ y } \boldsymbol{p_b}\textbf{ que resuelven el sistema planteado: [1 punto]}$

El sistema escrito en forma matricial es

$\begin{cases} x_a+2p_a-\frac{1}{2}p_b=17 \\ x_b-\frac{1}{2}p_a+3p_b=20 \\ -x_a-\frac{1}{3}x_b+p_a=2 \\ -\frac{1}{4}x_a-\frac{1}{2}x_b+p_b=2 \end{cases}$

Conviene despejar los precios de las dos últimas ecuaciones, que son las de oferta, y llevarlos a las dos primeras:

$p_a=2+x_a+\dfrac{1}{3}x_b;\qquad p_b=2+\dfrac{1}{4}x_a+\dfrac{1}{2}x_b$

Sustituyendo en la primera ecuación:

$x_a+2\left(2+x_a+\dfrac{x_b}{3}\right)-\dfrac{1}{2}\left(2+\dfrac{x_a}{4}+\dfrac{x_b}{2}\right)=17$

$x_a+4+2x_a+\dfrac{2x_b}{3}-1-\dfrac{x_a}{8}-\dfrac{x_b}{4}=17$

$\dfrac{23}{8}x_a+\dfrac{5}{12}x_b=14$

Y en la segunda:

$x_b-\dfrac{1}{2}\left(2+x_a+\dfrac{x_b}{3}\right)+3\left(2+\dfrac{x_a}{4}+\dfrac{x_b}{2}\right)=20$

$x_b-1-\dfrac{x_a}{2}-\dfrac{x_b}{6}+6+\dfrac{3x_a}{4}+\dfrac{3x_b}{2}=20$

$\dfrac{1}{4}x_a+\dfrac{7}{3}x_b=15$

Queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Multiplicando la primera por 24 y la segunda por 12:

$\begin{cases} 69x_a+10x_b=336 \\ 3x_a+28x_b=180 \end{cases}$

Se multiplica la segunda por 23 y se resta de la primera:

$69x_a+644x_b=4140 \Rightarrow 634x_b=3804 \Rightarrow x_b=6$

$3x_a+168=180 \Rightarrow x_a=4$

Y con ellos se recuperan los precios:

$p_a=2+4+\dfrac{6}{3}=8;\qquad p_b=2+\dfrac{4}{4}+\dfrac{6}{2}=6$

Los valores de equilibrio son $x_a=4$, $x_b=6$, $p_a=8$ y $p_b=6$.

$\textbf{b) Dada la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{, calcule } \boldsymbol{A = I_4 - X(X^{t}X)^{-1}X^{t}}\textbf{ y compruebe que es idempotente, es decir, que } \boldsymbol{A^{2}=A}\textbf{. [1 punto]}$

Se calcula primero el producto $X^{t}X$, que es de orden 2:

$X^{t}X=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 7 & 15 \end{pmatrix}$

Su determinante vale $60-49=11\neq 0$, de modo que la inversa existe:

$\left(X^{t}X\right)^{-1}=\dfrac{1}{11}\begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}$

Se opera después de dentro hacia fuera:

$X\left(X^{t}X\right)^{-1}X^{t}=\dfrac{1}{11}\begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix}$

$A=I_{4}-X\left(X^{t}X\right)^{-1}X^{t}=\dfrac{1}{11}\begin{pmatrix} 6 & -2 & -5 & 1 \\ -2 & 8 & -2 & -4 \\ -5 & -2 & 6 & 1 \\ 1 & -4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Para comprobar que es idempotente no hace falta multiplicar las dos matrices: basta desarrollar el cuadrado usando que $X^{t}X$ y su inversa se cancelan. Llamando $H=X\left(X^{t}X\right)^{-1}X^{t}$,

$H^{2}=X\left(X^{t}X\right)^{-1}\underbrace{X^{t}X}_{}\left(X^{t}X\right)^{-1}X^{t}=X\left(X^{t}X\right)^{-1}X^{t}=H$

$A^{2}=(I-H)^{2}=I-2H+H^{2}=I-2H+H=I-H=A$

La matriz $A$ es idempotente. Se comprueba además que su traza vale 2, como corresponde a una matriz idempotente de rango 2.