Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & n \end{pmatrix}$.

a) Encontrar los valores de $m$ y $n$ para que se verifique $A^{2} = A^{t}$, siendo $A^{t}$ la traspuesta de $A$. [1,2 puntos]

b) ¿Para qué valores de $m$ y $n$ la matriz $A$ no es invertible? [0,8 puntos]

$\textbf{a) Encontrar los valores de } \boldsymbol{m}\textbf{ y } \boldsymbol{n}\textbf{ para que se verifique } \boldsymbol{A^{2} = A^{t}}\textbf{, siendo } \boldsymbol{A^{t}}\textbf{ la traspuesta de } \boldsymbol{A}\textbf{. [1,2 puntos]}$

Calculamos por separado los dos miembros y los igualamos elemento a elemento.

$A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m+nm & n^{2} \end{pmatrix}$

$A^{t}=\begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & n \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m(1+n) & n^{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & n \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} 0=m \\ m(1+n)=0 \\ n^{2}=n \end{cases}$

La primera ecuación da $m=0$, y con ese valor la segunda se cumple sola. Queda la tercera:

$n^{2}-n=0 \Rightarrow n(n-1)=0 \Rightarrow \begin{cases} n=0 \\ n=1 \end{cases}$

Hay, pues, dos soluciones: $m=0$ con $n=0$ y $m=0$ con $n=1$. Se comprueban sustituyendo: en el primer caso $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, que cumple $A^{2}=A=A^{t}$; en el segundo, $A=I$, que también.

$\textbf{b) ¿Para qué valores de } \boldsymbol{m}\textbf{ y } \boldsymbol{n}\textbf{ la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ no es invertible? [0,8 puntos]}$

Una matriz cuadrada no es invertible cuando su determinante se anula.

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ m & n \end{vmatrix}=1\cdot n-0\cdot m=n$

$|A|=0 \Leftrightarrow n=0$

La matriz no es invertible exactamente cuando $n=0$, sea cual sea el valor de $m$: el parámetro $m$ no interviene en el determinante.