Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a+1 & 1 \\ a-3 & a-3 \end{pmatrix}$.

a) Indique para qué valores de $a$ existe la matriz inversa $A^{-1}$. [0,5 puntos]

b) Si $a = 4$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, encuentre la matriz $X$ que verifica que $B + XA = C$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Indique para qué valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ existe la matriz inversa } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula.

$|A|=\begin{vmatrix} a+1 & 1 \\ a-3 & a-3 \end{vmatrix}=(a+1)(a-3)-(a-3)$

Sacamos factor común $a-3$, que aparece en los dos sumandos:

$|A|=(a-3)\left(a+1-1\right)=a(a-3)$

$|A|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=3 \end{cases}$

Existe $A^{-1}$ para todo $a\in\mathbb{R}$ salvo $a=0$ y $a=3$.

$\textbf{b) Si } \boldsymbol{a = 4}\textbf{, } \boldsymbol{B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{, } \boldsymbol{C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}\textbf{, encuentre la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que verifica que } \boldsymbol{B + XA = C}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Con $a=4$ la matriz es

$A=\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\qquad |A|=4\cdot(4-3)=4\neq 0$

En la ecuación $A$ multiplica a $X$ por la derecha, así que hay que multiplicar por $A^{-1}$ también por la derecha.

$XA=C-B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{4}\operatorname{Adj}\left(A^{t}\right)=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$

$X=(C-B)A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} -2 & 6 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{2} \\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{2} \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$XA=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{2} \\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow B+XA=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=C$