Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Dadas las matrices $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ y $N = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$, hallar la matriz $P$ que verifica que $M^{-1}PM = N$. [2 puntos]

$\textbf{Dadas las matrices } \boldsymbol{M = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{N = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}}\textbf{, hallar la matriz } \boldsymbol{P}\textbf{ que verifica que } \boldsymbol{M^{-1}PM = N}\textbf{. [2 puntos]}$

La incógnita está atrapada entre dos factores, así que hay que deshacerlos uno a uno: multiplicamos por $M$ por la izquierda y por $M^{-1}$ por la derecha, en ese orden.

$M\left(M^{-1}PM\right)M^{-1}=MNM^{-1} \Rightarrow P=MNM^{-1}$

La operación es lícita porque $M$ es invertible:

$|M|=\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}=0+1=1\neq 0$

$M^{-1}=\dfrac{1}{|M|}\operatorname{Adj}\left(M^{t}\right)=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Multiplicamos por pasos, empezando por la izquierda:

$MN=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$P=(MN)M^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado deshaciendo el camino:

$M^{-1}P=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

$\left(M^{-1}P\right)M=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=N$

La matriz pedida es $P=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$.