Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} n-1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

a) Determinar los valores de $n$ para los que la matriz $A^{2}$ tiene inversa. [1 punto]

b) Para $n = 2$, hallar la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX + A = 2I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. [1 punto]

$\textbf{a) Determinar los valores de } \boldsymbol{n}\textbf{ para los que la matriz } \boldsymbol{A^{2}}\textbf{ tiene inversa. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa cuando su determinante no se anula. No hace falta calcular $A^{2}$: basta usar que el determinante de un producto es el producto de los determinantes.

$\left|A^{2}\right|=|A|\cdot|A|=|A|^{2}$

$|A|=\begin{vmatrix} n-1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-(n-1)=1-n$

$\left|A^{2}\right|=(1-n)^{2}$

$(1-n)^{2}\neq 0 \Leftrightarrow n\neq 1$

La matriz $A^{2}$ tiene inversa para todo $n\neq 1$; equivale a decir que la tiene siempre que la tenga $A$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{n = 2}\textbf{, hallar la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que verifica la ecuación } \boldsymbol{AX + A = 2I}\textbf{, siendo } \boldsymbol{I}\textbf{ la matriz identidad de orden 2. [1 punto]}$

Con $n=2$ la matriz es

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\qquad |A|=-1\neq 0$

Despejamos $X$ pasando $A$ al otro miembro y multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda:

$AX=2I-A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{-1}\operatorname{Adj}\left(A^{t}\right)=-\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

Obsérvese que $A^{-1}=A$: la matriz es su propia inversa.

$X=A^{-1}(2I-A)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$AX+A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=2I$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$.