Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

a) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$, hállese la matriz $X$ tal que $AX + B = C$. [1,2 puntos]

b) Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $N = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, explíquese cuáles de los productos $MN$, $MP$, $NP$ pueden calcularse, y calcúlense cuando se pueda. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Dadas las matrices } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{, } \boldsymbol{C}\textbf{, hállese la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ tal que } \boldsymbol{AX + B = C}\textbf{. [1,2 puntos]}$

Despejamos $X$ pasando $B$ al otro miembro y multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda, que es el lado por el que $A$ multiplica.

$AX=C-B=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

La matriz $A$ es invertible:

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1\neq 0 \Rightarrow A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

$X=A^{-1}(C-B)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Se comprueba sustituyendo: $AX+B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}=C$.

$\textbf{b) Dadas las matrices } \boldsymbol{M}\textbf{, } \boldsymbol{N}\textbf{, } \boldsymbol{P}\textbf{, explíquese cuáles de los productos } \boldsymbol{MN}\textbf{, } \boldsymbol{MP}\textbf{, } \boldsymbol{NP}\textbf{ pueden calcularse, y calcúlense cuando se pueda. [0,8 puntos]}$

Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda. Anotamos los órdenes:

$M$ es $2\times 3$, $N$ es $2\times 2$ y $P$ es $3\times 2$.

$MN:\ (2\times \mathbf{3})\cdot(\mathbf{2}\times 2) \Rightarrow 3\neq 2$, no se puede calcular.

$NP:\ (2\times \mathbf{2})\cdot(\mathbf{3}\times 2) \Rightarrow 2\neq 3$, tampoco.

$MP:\ (2\times \mathbf{3})\cdot(\mathbf{3}\times 2) \Rightarrow$ sí se puede, y el resultado es de orden $2\times 2$.

$MP=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

El único producto posible es $MP$, y resulta ser la matriz identidad de orden $2$.