Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, calcule el valor de $a$ que hace que:

$A^{2} = A^{-1} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ [2 puntos]

$\textbf{Dada la matriz } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} a & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{, calcule el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ que hace que } \boldsymbol{A^{2} = A^{-1} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}\textbf{. [2 puntos]}$

La igualdad involucra a $A^{-1}$, así que lo primero es exigir que la matriz sea invertible.

$|A|=\begin{vmatrix} a & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=a \Rightarrow a\neq 0$

Calculamos por separado los dos miembros en función de $a$.

$A^{2}=\begin{pmatrix} a & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^{2} & a^{2}+a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{a}\operatorname{Adj}\left(A^{t}\right)=\dfrac{1}{a}\begin{pmatrix} 1 & -a \\ 0 & a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{a} & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}+\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{a} & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Igualando elemento a elemento, la fila de abajo se cumple sola y quedan dos condiciones:

$\begin{cases} a^{2}=\dfrac{1}{a} \\ a^{2}+a=2 \end{cases}$

De la primera:

$a^{3}=1 \Rightarrow a=1$

que es la única raíz real. La segunda ecuación tiene dos soluciones,

$a^{2}+a-2=0 \Rightarrow a=\dfrac{-1\pm 3}{2} \Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ a=-2 \end{cases}$

y solo $a=1$ es común a ambas. Comprobamos que resuelve la ecuación matricial:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad A^{-1}+\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

El valor pedido es $a=1$.