Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ a & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ con $a \in \mathbb{R} - \{0\}$.

a) Calcular la matriz $C$, siendo $c_{11} = 2$, tal que $AC = B$. [1 punto]

b) Si $D = B^{t}A$, siendo $B^{t}$ la traspuesta de $B$, determinar los valores de $a$ para los que $D$ tiene matriz inversa. [1 punto]

$\textbf{a) Calcular la matriz } \boldsymbol{C}\textbf{, siendo } \boldsymbol{c_{11} = 2}\textbf{, tal que } \boldsymbol{AC = B}\textbf{. [1 punto]}$

Como $A$ es de orden $3\times 2$ y $B$ de orden $3\times 2$, la matriz $C$ ha de ser cuadrada de orden $2$. No podemos despejarla multiplicando por $A^{-1}$, porque $A$ no es cuadrada, así que planteamos el producto término a término.

$C=\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$

$AC=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p+r & q+s \\ ar & as \\ p+r & q+s \end{pmatrix}$

Igualando a $B$ resulta un sistema en el que la primera y la tercera filas dan la misma información:

$\begin{cases} p+r=3 \\ q+s=-1 \\ ar=a \\ as=0 \end{cases}$

Como el enunciado exige $a\neq 0$, las dos últimas ecuaciones se simplifican dividiendo por $a$:

$r=1 \qquad s=0$

y con ello

$p=3-r=2 \qquad q=-1-s=-1$

$C=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

El valor $c_{11}=2$ que anuncia el enunciado se obtiene, pues, sin necesidad de imponerlo. Comprobamos el producto:

$AC=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ a & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}=B$

$\textbf{b) Si } \boldsymbol{D = B^{t}A}\textbf{, siendo } \boldsymbol{B^{t}}\textbf{ la traspuesta de } \boldsymbol{B}\textbf{, determinar los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ para los que } \boldsymbol{D}\textbf{ tiene matriz inversa. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula, así que calculamos $D$ y su determinante.

$B^{t}=\begin{pmatrix} 3 & a & 3 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$D=B^{t}A=\begin{pmatrix} 3 & a & 3 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 6+a^{2} \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$

$|D|=6\cdot(-2)-\left(6+a^{2}\right)\cdot(-2)=-12+12+2a^{2}=2a^{2}$

$|D|=0 \Leftrightarrow 2a^{2}=0 \Leftrightarrow a=0$

El único valor que anula el determinante es $a=0$, que el enunciado ya excluye.

Por tanto $D$ tiene matriz inversa para todos los valores admisibles, es decir, para todo $a\in\mathbb{R}-\{0\}$.