Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} x & 0 \\ y & 1 \\ z & x+y \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, calcular los valores de $x$, $y$, $z \in \mathbb{R}$ para que $AB$ sea igual a la inversa $C^{-1}$ de la matriz $C$. [2 puntos]

$\textbf{Calcular los valores de } \boldsymbol{x}\textbf{, } \boldsymbol{y}\textbf{, } \boldsymbol{z \in \mathbb{R}}\textbf{ para que } \boldsymbol{AB}\textbf{ sea igual a la inversa } \boldsymbol{C^{-1}}\textbf{ de la matriz } \boldsymbol{C}\textbf{. [2 puntos]}$

El plan es calcular por un lado la inversa de $C$ y por otro el producto $AB$ en función de las incógnitas, e igualar los dos resultados elemento a elemento.

Empezamos comprobando que $C$ es invertible:

$|C|=\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=2-1=1\neq 0$

$C^{-1}=\dfrac{1}{|C|}\operatorname{Adj}\left(C^{t}\right)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Ahora el producto, que es de orden $2\times 2$ por ser $A$ de orden $2\times 3$ y $B$ de orden $3\times 2$:

$AB=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & 0 \\ y & 1 \\ z & x+y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+z & x+y \\ -x+y & 1 \end{pmatrix}$

Igualamos las dos matrices:

$\begin{pmatrix} x+z & x+y \\ -x+y & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} x+z=2 \\ x+y=1 \\ -x+y=1 \end{cases}$

El elemento de la esquina inferior derecha se cumple solo, ya que vale $1$ en las dos matrices. Restando la tercera ecuación de la segunda desaparece $y$:

$(x+y)-(-x+y)=1-1 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$

$y=1 \qquad z=2-x=2$

Comprobamos el resultado sustituyendo en el producto:

$AB=\begin{pmatrix} 0+2 & 0+1 \\ 0+1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=C^{-1}$

Los valores pedidos son $x=0$, $y=1$ y $z=2$.