Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $D = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, hallar la matriz $X$ tal que $AB + CX = D$. [2 puntos]

$\textbf{Dadas las matrices } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{, } \boldsymbol{C}\textbf{ y } \boldsymbol{D}\textbf{, hallar la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ tal que } \boldsymbol{AB + CX = D}\textbf{. [2 puntos]}$

Antes de despejar conviene mirar los órdenes: $A$ es $2\times 3$ y $B$ es $3\times 2$, así que $AB$ es $2\times 2$, como $C$ y $D$; por tanto $X$ también es de orden $2\times 2$.

$AB=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

Pasamos $AB$ al otro miembro:

$CX=D-AB=\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$

La resta ha dado justamente la identidad, de modo que $X$ no es otra cosa que la inversa de $C$. Comprobamos primero que existe:

$|C|=\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1\neq 0$

$CX=I \Rightarrow X=C^{-1}=\dfrac{1}{|C|}\operatorname{Adj}\left(C^{t}\right)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Se comprueba sustituyendo en la ecuación de partida:

$AB+CX=\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}=D$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.