Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Sean $a \in \mathbb{R}$ y $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$.

a) Calcular el determinante y el rango de $M$ para cada valor $a \in \mathbb{R}$. [1 punto]

b) Para $a = 0$, calcular el determinante de la matriz $P$ cuando $2PM = M^{3}$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcular el determinante y el rango de } \boldsymbol{M}\textbf{ para cada valor } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{. [1 punto]}$

Desarrollamos el determinante por la primera fila.

$|M|=1\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & a \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} a & 0 \\ 1 & a \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$

$|M|=a-a^{2}+2(a-1)=-a^{2}+3a-2$

$|M|=0\Rightarrow (a-1)(a-2)=0\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ a=2 \end{cases}$

Si $a\neq 1$ y $a\neq 2$, el determinante no se anula y $\operatorname{ran}(M)=3$.

Si $a=1$, la matriz tiene sus dos primeras columnas iguales:

$M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=-2\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(M)=2$

Si $a=2$, la primera y la tercera filas son iguales:

$M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-1\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(M)=2$

En resumen: $|M|=-a^{2}+3a-2$; el rango vale $3$ salvo para $a=1$ y $a=2$, donde vale $2$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = 0}\textbf{, calcular el determinante de la matriz } \boldsymbol{P}\textbf{ cuando } \boldsymbol{2PM = M^{3}}\textbf{. [1 punto]}$

No hace falta calcular $P$: basta tomar determinantes en los dos miembros y usar que el determinante de un producto es el producto de los determinantes. Conviene recordar que multiplicar una matriz de orden $3$ por un número multiplica su determinante por el cubo de ese número.

$|M|_{a=0}=-0+0-2=-2$

$|2PM|=\left|M^{3}\right| \Rightarrow 2^{3}\,|P|\,|M|=|M|^{3}$

$8\,|P|\,(-2)=(-2)^{3} \Rightarrow -16\,|P|=-8$

$|P|=\dfrac{1}{2}$

El determinante de la matriz $P$ vale $\dfrac{1}{2}$.