Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $N = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$.

a) Calcular la matriz $M = A^{t}A - BB^{t}$, donde $A^{t}$ y $B^{t}$ representan las matrices transpuestas de $A$ y $B$, respectivamente. [1 punto]

b) Hallar la matriz $X$ que cumple la igualdad $XN = C$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcular la matriz } \boldsymbol{M = A^{t}A - BB^{t}}\textbf{, donde } \boldsymbol{A^{t}}\textbf{ y } \boldsymbol{B^{t}}\textbf{ representan las matrices transpuestas de } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{, respectivamente. [1 punto]}$

Conviene mirar primero los tamaños: $A^{t}A$ es $2\times 2$ y $BB^{t}$ también, al multiplicar una columna por una fila, de modo que la resta tiene sentido.

$A^{t}A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

$BB^{t}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$M=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

La matriz pedida es $M=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, que resulta ser precisamente la matriz $N$ del enunciado.

$\textbf{b) Hallar la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que cumple la igualdad } \boldsymbol{XN = C}\textbf{. [1,5 puntos]}$

En esta ecuación $N$ multiplica a $X$ por la derecha, así que hay que multiplicar por $N^{-1}$ también por la derecha. Además, como $C$ es $3\times 2$ y $N$ es $2\times 2$, la incógnita $X$ es de orden $3\times 2$.

$|N|=\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=2-4=-2\neq 0$

$XNN^{-1}=CN^{-1} \Rightarrow X=CN^{-1}$

$N^{-1}=\dfrac{1}{|N|}\operatorname{Adj}\left(N^{t}\right)=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 3 & -4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando por $N$:

$XN=\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 3 & -4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}=C$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 3 & -4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$.