Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -6 \\ -2 & 1 & -2 \\ -11 & 3 & -8 \end{pmatrix}$ e $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Resolver la ecuación matricial $\dfrac{1}{4}A^{2} - AX = B$. [0,5 puntos]

b) Discutir el sistema de ecuaciones $(A - \alpha I)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ en función del parámetro $\alpha \in \mathbb{R}$. [1,5 puntos]

c) Si $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -2$, calcular el valor de $\begin{vmatrix} g-5a & 2d & a \\ 2h-10b & 4e & 2b \\ i-5c & 2f & c \end{vmatrix}$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Resolver la ecuación matricial } \boldsymbol{\dfrac{1}{4}A^{2} - AX = B}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Despejamos $X$ como si fuera una ecuación numérica, pero cuidando el orden de los factores: $A$ multiplica a $X$ por la izquierda, luego habrá que multiplicar por $A^{-1}$ también por la izquierda.

$AX=\dfrac{1}{4}A^{2}-B \Rightarrow X=A^{-1}\left(\dfrac{1}{4}A^{2}-B\right)$

La operación es lícita porque $A$ es invertible:

$|A|=\begin{vmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix}=4\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}=16\neq 0$

Calculamos primero el segundo miembro:

$A^{2}=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 8 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 12 & 4 & 16 \end{pmatrix}$

$\dfrac{1}{4}A^{2}-B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 & 4 & -6 \\ -2 & 1 & -2 \\ -11 & 3 & -8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & -2 & 6 \\ 2 & 0 & 2 \\ 14 & -2 & 12 \end{pmatrix}$

En lugar de invertir $A$, resolvemos $AX=M$ columna a columna: si $(x,y,z)$ es una columna de $X$ y $(m_1,m_2,m_3)$ la correspondiente de $M$, el sistema es escalonado y se despeja de arriba abajo.

$\begin{cases} 2x+2y=m_1 \\ 2y=m_2 \\ 2x+4z=m_3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} y=\dfrac{m_2}{2} \\ x=\dfrac{m_1-m_2}{2} \\ z=\dfrac{m_3-m_1+m_2}{4} \end{cases}$

Aplicándolo a las tres columnas de $M$:

$X=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Se comprueba sustituyendo en la ecuación de partida, que se cumple exactamente.

$\textbf{b) Discutir el sistema de ecuaciones } \boldsymbol{(A - \alpha I)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}\textbf{ en función del parámetro } \boldsymbol{\alpha \in \mathbb{R}}\textbf{. [1,5 puntos]}$

La matriz de coeficientes es

$A-\alpha I=\begin{pmatrix} 2-\alpha & 2 & 0 \\ 0 & 2-\alpha & 0 \\ 2 & 0 & 4-\alpha \end{pmatrix}$

Su determinante se desarrolla cómodamente por la segunda fila, que solo tiene un elemento no nulo:

$|A-\alpha I|=(2-\alpha)\begin{vmatrix} 2-\alpha & 0 \\ 2 & 4-\alpha \end{vmatrix}=(2-\alpha)^{2}(4-\alpha)$

$|A-\alpha I|=0\Rightarrow \begin{cases} \alpha=2 \\ \alpha=4 \end{cases}$

Si $\alpha\neq 2$ y $\alpha\neq 4$, el determinante no se anula y el sistema es compatible determinado.

Para $\alpha=2$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right)$

La segunda fila es nula, y las otras dos son claramente independientes, así que

$\operatorname{ran}(A-2I)=\operatorname{ran}(\text{ampliada})=2<3=\text{número de incógnitas}$

y el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

Para $\alpha=4$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

La tercera columna es nula, luego $\operatorname{ran}(A-4I)=2$. En cambio, en la ampliada:

$\begin{vmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}=4\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(\text{ampliada})=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible. Se ve también directamente: con $\alpha=4$ la incógnita $z$ desaparece de las tres ecuaciones y las dos primeras obligan a $x=y=0$, que la tercera contradice.

En resumen: compatible determinado si $\alpha\neq 2$ y $\alpha\neq 4$, compatible indeterminado si $\alpha=2$ e incompatible si $\alpha=4$.

$\textbf{c) Si } \boldsymbol{\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -2}\textbf{, calcular el valor de } \boldsymbol{\begin{vmatrix} g-5a & 2d & a \\ 2h-10b & 4e & 2b \\ i-5c & 2f & c \end{vmatrix}}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Vamos sacando factores comunes y deshaciendo las combinaciones lineales hasta llegar al determinante dado. La segunda fila tiene el factor $2$ en los tres elementos:

$\begin{vmatrix} g-5a & 2d & a \\ 2h-10b & 4e & 2b \\ i-5c & 2f & c \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} g-5a & 2d & a \\ h-5b & 2e & b \\ i-5c & 2f & c \end{vmatrix}$

Y ahora la segunda columna tiene el factor $2$:

$=4\begin{vmatrix} g-5a & d & a \\ h-5b & e & b \\ i-5c & f & c \end{vmatrix}$

Sumar a una columna un múltiplo de otra no cambia el determinante, así que hacemos $C_1\to C_1+5C_3$:

$=4\begin{vmatrix} g & d & a \\ h & e & b \\ i & f & c \end{vmatrix}$

Intercambiando la primera y la tercera columnas —lo que cambia el signo— aparece la traspuesta del determinante del enunciado, que vale lo mismo que él:

$=-4\begin{vmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{vmatrix}=-4\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}=-4\cdot(-2)=8$

El determinante pedido vale $8$.