Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

a) Calcular $A$ si $(AB)^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. [1 punto]

b) Si $M = \begin{pmatrix} 3 & x \\ y & z \end{pmatrix}$ es invertible, calcular $x$, $y$ y $z$ sabiendo que $(3z)M^{-1} + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$. Entiéndase que $I$ es la matriz identidad. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcular } \boldsymbol{A}\textbf{ si } \boldsymbol{(AB)^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{. [1 punto]}$

Trasponiendo de nuevo la igualdad del enunciado recuperamos el producto $AB$, ya que $\left((AB)^{t}\right)^{t}=AB$.

$AB=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^{t}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$B$ es invertible, porque su determinante no se anula:

$|B|=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}=1+1=2\neq 0$

Multiplicamos por la derecha por $B^{-1}$ para despejar $A$:

$ABB^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}B^{-1}\Rightarrow A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}B^{-1}$

$B^{-1}=\dfrac{1}{|B|}\operatorname{Adj}\left(B^{t}\right)=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando: $AB=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

La matriz pedida es $A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

$\textbf{b) Si } \boldsymbol{M = \begin{pmatrix} 3 & x \\ y & z \end{pmatrix}}\textbf{ es invertible, calcular } \boldsymbol{x}\textbf{, } \boldsymbol{y}\textbf{ y } \boldsymbol{z}\textbf{ sabiendo que } \boldsymbol{(3z)M^{-1} + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Despejamos primero el producto $(3z)M^{-1}$ pasando la identidad al otro miembro.

$(3z)M^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

En lugar de calcular $M^{-1}$, que obligaría a arrastrar el determinante $3z-xy$, multiplicamos los dos miembros por la derecha por $M$ y usamos que $M^{-1}M=I$:

$(3z)I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & x \\ y & z \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3z & 0 \\ 0 & 3z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & x \\ -3+3y & -x+3z \end{pmatrix}$

Igualando elemento a elemento obtenemos un sistema inmediato:

$\begin{cases} 3z=3 \\ x=0 \\ -3+3y=0 \\ -x+3z=3z \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=1 \\ z=1 \end{cases}$

Falta comprobar que con esos valores $M$ es realmente invertible, que es la hipótesis del enunciado:

$M=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\Rightarrow |M|=3\neq 0$

Los valores pedidos son $x=0$, $y=1$ y $z=1$.