Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2020

Sabiendo que la inversa de una matriz $A$ es $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ y la inversa de la matriz $A \cdot B$ es $\begin{pmatrix} -6 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, determine la matriz $B$. [2,5 puntos]

Llamemos $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}$ y $(A\cdot B)^{-1}=\begin{pmatrix} -6 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$.

La idea es despejar $B$ de $A\cdot B$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$:

$A^{-1}\cdot(A\cdot B)=\left(A^{-1}A\right)B=I\cdot B=B$

de modo que basta conocer la matriz $A\cdot B$, que es la inversa de la que da el enunciado.

Invertimos $(A\cdot B)^{-1}$:

$\left|(A\cdot B)^{-1}\right|=\begin{vmatrix} -6 & 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix}=0-1=-1\neq0$

$A\cdot B=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 6\end{pmatrix}$

Multiplicamos ahora por $A^{-1}$ por la izquierda:

$B=A^{-1}\cdot(A\cdot B)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0-1 & 2-6 \\ 0+1 & -1+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 5\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado. De $A^{-1}$ se obtiene $A$ invirtiéndola —su determinante vale $2-1=1$—:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \Rightarrow A\cdot B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 6\end{pmatrix}$

cuya inversa es, en efecto, la matriz del enunciado.

La matriz pedida es $B=\begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 5\end{pmatrix}$.