Matemáticas II · Matrices · Navarra · 2020

Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2020

Sean A A y B B dos matrices de tamaño 3×3 3 \times 3 tales que ∣A∣=∣B∣=12 |A| = |B| = \dfrac{1}{2} . Calcule ∣C∣ |C| teniendo en cuenta que la matriz C C es la siguiente:

C=(2⋅At⋅B−1)2 C = (2 \cdot A^t \cdot B^{-1})^2 [2,5 puntos]

Solución

Usamos las propiedades de los determinantes de matrices cuadradas de orden n=3 n=3 :

∣k⋅A∣=k3∣A∣,∣A⋅B∣=∣A∣⋅∣B∣,∣A−1∣=1∣A∣,∣At∣=∣A∣ |k\cdot A|=k^3|A|, \qquad |A\cdot B|=|A|\cdot|B|, \qquad |A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}, \qquad |A^t|=|A|

Como C C es el cuadrado de una matriz, empezamos por ahí:

∣C∣=∣(2AtB−1)2∣=∣2AtB−1∣2 |C|=\left|\left(2A^tB^{-1}\right)^2\right|=\left|2A^tB^{-1}\right|^2

∣2AtB−1∣=23⋅∣At∣⋅∣B−1∣=8⋅∣A∣∣B∣ \left|2A^tB^{-1}\right|=2^3\cdot\left|A^t\right|\cdot\left|B^{-1}\right|=8\cdot\dfrac{|A|}{|B|}

Sustituimos ∣A∣=∣B∣=12 |A|=|B|=\dfrac12 —obsérvese que ∣B∣≠0 |B|\neq0 , de modo que B−1 B^{-1} existe—:

∣2AtB−1∣=8⋅1212=8 \left|2A^tB^{-1}\right|=8\cdot\dfrac{\frac12}{\frac12}=8

∣C∣=82=64 |C|=8^2=64

El determinante de la matriz C C vale 64 64 .

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