Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2021

Calcule los valores de $t$ para que se cumpla $|A \cdot B^{-1}| = 1$, siendo $A$ y $B$ las siguientes matrices:

$A = \begin{pmatrix} 1 & t & -t \\ 2t-1 & t-1 & t \\ t-2 & 0 & t-2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} t-1 & t & -t \\ 1-2t & 2t & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ [2,5 puntos]

El determinante de un producto es el producto de los determinantes, y el de la inversa el inverso, siempre que esta exista:

$\left|A\cdot B^{-1}\right|=\dfrac{|A|}{|B|}=1 \Rightarrow |A|=|B| \quad\text{con}\quad |B|\neq0$

Calculamos los dos determinantes. En $A$ la tercera fila tiene un cero en el centro, así que desarrollamos por ella:

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & t & -t \\ 2t-1 & t-1 & t \\ t-2 & 0 & t-2\end{vmatrix}=(t-2)\begin{vmatrix} t & -t \\ t-1 & t\end{vmatrix}+(t-2)\begin{vmatrix} 1 & t \\ 2t-1 & t-1\end{vmatrix}$

$=(t-2)\left[t^2+t(t-1)\right]+(t-2)\left[(t-1)-t(2t-1)\right]$

$=(t-2)\left[2t^2-t\right]+(t-2)\left[-2t^2+2t-1\right]=(t-2)(t-1)$

En $B$ desarrollamos por la tercera fila, que también tiene un cero:

$|B|=\begin{vmatrix} t-1 & t & -t \\ 1-2t & 2t & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix} t-1 & -t \\ 1-2t & -1\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix} t-1 & t \\ 1-2t & 2t\end{vmatrix}$

$=\left[-(t-1)+t(1-2t)\right]+\left[2t(t-1)-t(1-2t)\right]=\left[-2t^2+2t-1\right]+\left[4t^2-3t\right]$

$|B|=2t^2-t-1=(t-1)(2t-1)$

Imponemos la igualdad:

$(t-2)(t-1)=(t-1)(2t-1) \Rightarrow (t-1)\left[(t-2)-(2t-1)\right]=0 \Rightarrow (t-1)(-t-1)=0$

$\begin{cases} t=1 \\ t=-1 \end{cases}$

Hay que descartar los valores que anulan $|B|$, porque entonces $B$ no tiene inversa:

$|B|=(t-1)(2t-1)=0 \Rightarrow t=1 \ \text{o}\ t=\dfrac12$

de modo que $t=1$ no sirve. Para $t=-1$ sí:

$|A|=(-3)(-2)=6 \qquad |B|=(-2)(-3)=6 \qquad \left|A\cdot B^{-1}\right|=\dfrac66=1$

El único valor que cumple la condición es $t=-1$.