Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2021

Calcule los valores del parámetro $t$ para que se cumpla la condición $|A^3| = 8$, siendo $A$ la siguiente matriz:

$A = \begin{pmatrix} \ell-1 & \ell+1 & 3 \\ t^2-t & t^2+2t & t \\ 1-\ell & -1-\ell & -2 \end{pmatrix}$ [2,5 puntos]

El enunciado pide los valores del parámetro $t$, de modo que la letra que aparece en la primera y en la tercera fila es esa misma $t$: la matriz es

$A=\begin{pmatrix} t-1 & t+1 & 3 \\ t^2-t & t^2+2t & t \\ 1-t & -1-t & -2\end{pmatrix}$

Como el determinante de una potencia es la potencia del determinante,

$\left|A^3\right|=|A|^3=8 \Rightarrow |A|=\sqrt[3]{8}=2$

Calculamos $|A|$. La tercera fila es casi la opuesta de la primera, así que le sumamos la primera:

$F_3\to F_3+F_1:\ \left(0,\ 0,\ 1\right)$

$|A|=\begin{vmatrix} t-1 & t+1 & 3 \\ t^2-t & t^2+2t & t \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix} t-1 & t+1 \\ t^2-t & t^2+2t\end{vmatrix}$

$|A|=(t-1)\left(t^2+2t\right)-(t+1)\left(t^2-t\right)=t(t-1)(t+2)-t(t+1)(t-1)$

$|A|=t(t-1)\left[(t+2)-(t+1)\right]=t(t-1)=t^2-t$

Imponemos la condición:

$t^2-t=2 \Rightarrow t^2-t-2=0 \Rightarrow t=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{1\pm3}{2} \Rightarrow \begin{cases} t=2 \\ t=-1 \end{cases}$

Se comprueban los dos: para $t=2$, $|A|=4-2=2$, y para $t=-1$, $|A|=1+1=2$; en ambos casos $|A^3|=2^3=8$.

Los valores pedidos son $t=2$ y $t=-1$.