Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2022

Demuestre que se cumple $|A \cdot B| = 0$ para toda matriz $A$ de dimensión $3 \times 2$, siendo $B$ la siguiente matriz:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ [2,5 puntos]

La matriz $A$ es $3\times2$ y $B$ es $2\times3$, de modo que el producto $A\cdot B$ es una matriz cuadrada de orden 3 y tiene sentido hablar de su determinante.

El argumento es el del rango. El rango de un producto no puede superar al de ninguno de sus factores:

$\operatorname{ran}(A\cdot B)\leq\min\left\{\operatorname{ran}(A),\operatorname{ran}(B)\right\}$

Y como $A$ tiene solo dos columnas, su rango es a lo sumo 2, cualquiera que sea la matriz. Por tanto

$\operatorname{ran}(A\cdot B)\leq2<3$

Una matriz cuadrada de orden 3 con rango menor que 3 tiene determinante nulo, luego $|A\cdot B|=0$ para toda $A$ de dimensión $3\times2$.

Se llega a lo mismo mirando las columnas de $B$, que cumplen

$C_3=C_1+2C_2 \qquad\text{porque}\qquad \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}$

Al multiplicar por la izquierda, esa relación se hereda: la tercera columna de $A\cdot B$ es la primera más el doble de la segunda,

$A\cdot C_3=A\cdot C_1+2\,A\cdot C_2$

de modo que las tres columnas de $A\cdot B$ son linealmente dependientes y su determinante es cero.

Queda demostrado que $|A\cdot B|=0$ sea cual sea la matriz $A$ de dimensión $3\times2$.