Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2022

Calcule los valores de $t$ para los que la matriz $A^{26}+A^{25}$ es matriz singular, siendo

$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & t-1 \end{pmatrix}$ [2,5 puntos]

Una matriz es singular cuando su determinante es cero, así que hay que estudiar $\left|A^{26}+A^{25}\right|$. Calcular las potencias sería un despropósito: basta sacar factor común, cosa lícita porque $A$ conmuta consigo misma y con la identidad.

$A^{26}+A^{25}=A^{25}\cdot A+A^{25}\cdot I=A^{25}(A+I)$

Aplicando que el determinante de un producto es el producto de determinantes,

$\left|A^{26}+A^{25}\right|=\left|A^{25}\right|\cdot|A+I|=|A|^{25}\cdot|A+I|$

Calculamos los dos factores.

$|A|=\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & t-1\end{vmatrix}=0\cdot(t-1)-(-1)\cdot1=1$

El determinante de $A$ vale 1 sea cual sea $t$, así que $|A|^{25}=1$ y nunca se anula.

$A+I=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & t-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & t\end{pmatrix}$

$|A+I|=t+1$

Por tanto,

$\left|A^{26}+A^{25}\right|=1\cdot(t+1)=t+1$

$t+1=0 \Rightarrow t=-1$

La matriz $A^{26}+A^{25}$ es singular únicamente para $t=-1$.