Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2023

Calcule el valor de $a$ para que la siguiente matriz no sea regular:

$A = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 & a+3 \\ -3 & 1 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ [2,5 puntos]

Una matriz cuadrada es regular cuando tiene inversa, y eso ocurre exactamente cuando su determinante no se anula. Buscamos, pues, el valor de $a$ que hace $|A|=0$.

Antes de desarrollar conviene simplificar con operaciones elementales, que no alteran el determinante. Restamos la tercera fila a la primera y la cuarta a la segunda:

$F_1\to F_1-F_3:\ (0,1,-3,-3) \qquad F_2\to F_2-F_4:\ (0,0,-1,a+1)$

y después restamos a la tercera fila la cuarta multiplicada por $\frac32$:

$F_3\to F_3-\tfrac32F_4:\ (0,1,-1,-1)$

$|A|=\begin{vmatrix} 0 & 1 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & a+1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 & 2\end{vmatrix}$

Desarrollamos por la primera columna, cuyo único elemento no nulo es el $-2$ de la cuarta fila, con signo $(-1)^{4+1}=-1$:

$|A|=-(-2)\begin{vmatrix} 1 & -3 & -3 \\ 0 & -1 & a+1 \\ 1 & -1 & -1\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 1 & -3 & -3 \\ 0 & -1 & a+1 \\ 1 & -1 & -1\end{vmatrix}$

Desarrollando por la primera columna el determinante de orden 3:

$\begin{vmatrix} 1 & -3 & -3 \\ 0 & -1 & a+1 \\ 1 & -1 & -1\end{vmatrix}=1\begin{vmatrix} -1 & a+1 \\ -1 & -1\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} -3 & -3 \\ -1 & a+1\end{vmatrix}$

$=\left(1+a+1\right)+\left(-3a-3-3\right)=(a+2)-3(a+2)=-2(a+2)$

$|A|=2\cdot\left[-2(a+2)\right]=-4(a+2)$

$|A|=0 \Rightarrow -4(a+2)=0 \Rightarrow a=-2$

La matriz no es regular únicamente para $a=-2$; para cualquier otro valor de $a$ su determinante es distinto de cero y admite inversa.