Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2023

Calcule los valores de $t$ para los que el rango de la matriz $A \cdot B$ es máximo, siendo

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & t-1 \\ 1 & t & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} t+1 & 1 & t \\ 0 & t & -2t+1 \\ t+1 & t+1 & -t-1 \end{pmatrix}$ [2,5 puntos]

El producto $A\cdot B$ es una matriz cuadrada de orden 3, así que su rango es máximo —igual a 3— exactamente cuando su determinante no se anula. Y por la propiedad del determinante de un producto,

$|A\cdot B|=|A|\cdot|B|$

de modo que basta estudiar por separado los dos factores.

Calculamos $|A|$ desarrollando por la primera columna, cuyo único elemento no nulo es el de la tercera fila:

$|A|=\begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & t-1 \\ 1 & t & 1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & t-1\end{vmatrix}=1\cdot\left(0+1\right)=1$

El determinante de $A$ vale 1 cualquiera que sea $t$: nunca se anula.

Para $|B|$ restamos la primera fila a la tercera, con lo que se anula su primer elemento:

$|B|=\begin{vmatrix} t+1 & 1 & t \\ 0 & t & -2t+1 \\ 0 & t & -2t-1\end{vmatrix}=(t+1)\begin{vmatrix} t & -2t+1 \\ t & -2t-1\end{vmatrix}$

$|B|=(t+1)\left[t(-2t-1)-t(-2t+1)\right]=(t+1)\left(-2t^2-t+2t^2-t\right)=(t+1)(-2t)=-2t(t+1)$

Por tanto,

$|A\cdot B|=1\cdot\left[-2t(t+1)\right]=-2t(t+1)$

$|A\cdot B|=0 \Rightarrow -2t(t+1)=0 \Rightarrow \begin{cases} t=0 \\ t=-1 \end{cases}$

El rango de $A\cdot B$ es máximo, e igual a 3, para todos los valores de $t$ salvo $t=0$ y $t=-1$.