Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2024

Sean $A$, $P$ y $Q$ tres matrices cuadradas regulares tales que $Q \cdot A \cdot P = I$, donde $I$ es la matriz identidad de la misma dimensión.

a) Demuestre que $A \cdot P \cdot Q \cdot A = Q^{-1} \cdot P^{-1}$ [1,5 puntos]

b) Calcule la matriz $A$ para el caso en que $P$ y $Q$ sean las siguientes:

$P = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ y $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ [1 punto]

$\textbf{a) Demuestre que } \boldsymbol{A\cdot P\cdot Q\cdot A=Q^{-1}\cdot P^{-1}}$

Las tres matrices son regulares, de modo que $P^{-1}$ y $Q^{-1}$ existen. Partimos de la relación del enunciado y despejamos de dos maneras distintas.

Multiplicando $Q\cdot A\cdot P=I$ por la izquierda por $Q^{-1}$:

$Q^{-1}QAP=Q^{-1}I \Rightarrow A\cdot P=Q^{-1}$

Multiplicando ahora la misma igualdad por la derecha por $P^{-1}$:

$QAPP^{-1}=IP^{-1} \Rightarrow Q\cdot A=P^{-1}$

Basta agrupar el producto pedido asociando de dos en dos, cosa lícita porque el producto de matrices es asociativo:

$A\cdot P\cdot Q\cdot A=(A\cdot P)\cdot(Q\cdot A)=Q^{-1}\cdot P^{-1}$

que es lo que se quería demostrar.

$\textbf{b) Calcule la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ para el caso en que } \boldsymbol{P}\textbf{ y } \boldsymbol{Q}\textbf{ sean las siguientes:}$

De $A\cdot P=Q^{-1}$, multiplicando por la derecha por $P^{-1}$, se obtiene la matriz buscada:

$A=Q^{-1}\cdot P^{-1}$

Calculamos las dos inversas. Para $P$:

$|P|=\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1\end{vmatrix}=1-2=-1\neq0 \Rightarrow P^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$

Para $Q$:

$|Q|=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2\end{vmatrix}=2\neq0 \Rightarrow Q^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac12 & \frac12\end{pmatrix}$

Multiplicamos:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac12 & \frac12\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -\frac12+1 & -\frac12+\frac12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \frac12 & 0\end{pmatrix}$

Se comprueba que cumple la condición del enunciado:

$Q\cdot A\cdot P=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \frac12 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=I$

La matriz pedida es $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \frac12 & 0\end{pmatrix}$.