Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2024

Halle el rango de la matriz $M$ según el valor de $m$, siendo:

$M = \begin{pmatrix} m-1 & 3 & 0 \\ -1 & m & 1 \\ m & -1 & -1 \\ -2 & m+1 & 2 \end{pmatrix}$ [2,5 puntos]

La matriz tiene cuatro filas y tres columnas, de modo que su rango es a lo sumo 3. Para decidir cuándo lo alcanza basta con encontrar un menor de orden 3 no nulo.

Tomamos el formado por las filas primera, segunda y cuarta:

$\begin{vmatrix} m-1 & 3 & 0 \\ -1 & m & 1 \\ -2 & m+1 & 2\end{vmatrix}$

Restamos a la tercera fila la segunda multiplicada por 2, operación que no altera el determinante:

$=\begin{vmatrix} m-1 & 3 & 0 \\ -1 & m & 1 \\ 0 & 1-m & 0\end{vmatrix}$

y lo desarrollamos por la tercera columna, cuyo único elemento no nulo es el 1 de la segunda fila:

$=-1\cdot\begin{vmatrix} m-1 & 3 \\ 0 & 1-m\end{vmatrix}=-(m-1)(1-m)=(m-1)^2$

$(m-1)^2=0 \Rightarrow m=1$

Si $m\neq1$, ese menor no es nulo y $\operatorname{ran}(M)=3$.

Si $m=1$, la matriz es

$M=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -2 & 2 & 2\end{pmatrix}$

Ahora la tercera fila es la opuesta de la segunda y la cuarta es la segunda multiplicada por 2, de modo que solo hay dos filas linealmente independientes. Como

$\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 1\end{vmatrix}=3\neq0$

el rango es exactamente 2.

Por tanto, $\operatorname{ran}(M)=3$ para todo $m\neq1$, y $\operatorname{ran}(M)=2$ para $m=1$.