Sean A y B dos matrices cuadradas 3 × 3 tales que |A| = (1)/(3) y |B| = 3 . Calcule |C| sabiendo que C = 3 · (

Question

Sean A y B dos matrices cuadradas 3 × 3 tales que |A| = (1)/(3) y |B| = 3 . Calcule |C| sabiendo que C = 3 · (A^t)^2 · (A · B)^-1 [2,5 puntos]

Accepted Answer

Usamos las propiedades de los determinantes de matrices cuadradas de orden

n=3

:

|k\cdot A|=k^3|A|, \qquad |A\cdot B|=|A|\cdot|B|, \qquad |A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}, \qquad |A^t|=|A|

Aplicándolas a

C=3\cdot(A^t)^2\cdot(A\cdot B)^{-1}

:

|C|=3^3\cdot\left|(A^t)^2\right|\cdot\left|(A\cdot B)^{-1}\right|=27\cdot|A^t|^2\cdot\dfrac{1}{|A|\cdot|B|}

|C|=27\cdot|A|^2\cdot\dfrac{1}{|A|\cdot|B|}=\dfrac{27\,|A|}{|B|}

Sustituimos

|A|=\dfrac13

y

|B|=3

:

|C|=\dfrac{27\cdot\frac13}{3}=\dfrac{9}{3}=3

Obsérvese que la inversa existe porque

|A\cdot B|=\frac13\cdot3=1\neq0

.

El determinante de la matriz

C

vale

3

.

Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2025