Sean A y B dos matrices cuadradas 3 × 3 tales que |A| = (1)/(4) y |B| = 2 . Calcule |C| sabiendo que C = 2 · (

Question

Sean A y B dos matrices cuadradas 3 × 3 tales que |A| = (1)/(4) y |B| = 2 . Calcule |C| sabiendo que C = 2 · (A · B^t)^2 · (B^t)^-1 [2,5 puntos]

Accepted Answer

Usamos tres propiedades de los determinantes, válidas para matrices cuadradas del mismo orden:

|k\cdot A|=k^n|A| \ (\text{aquí } n=3), \qquad |A\cdot B|=|A|\cdot|B|, \qquad |A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}

y que la trasposición no cambia el determinante,

|B^t|=|B|

.

Aplicándolas por partes a

C=2\cdot(A\cdot B^t)^2\cdot(B^t)^{-1}

:

|C|=2^3\cdot\left|(A\cdot B^t)^2\right|\cdot\left|(B^t)^{-1}\right|=8\cdot\left(|A|\cdot|B^t|\right)^2\cdot\dfrac{1}{|B^t|}

|C|=8\cdot\left(|A|\cdot|B|\right)^2\cdot\dfrac{1}{|B|}

Sustituimos

|A|=\dfrac14

y

|B|=2

:

|C|=8\cdot\left(\dfrac14\cdot2\right)^2\cdot\dfrac12=8\cdot\left(\dfrac12\right)^2\cdot\dfrac12=8\cdot\dfrac14\cdot\dfrac12=1

El determinante de la matriz

C

vale

1

.

Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2025