Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2026

Dadas las siguientes matrices $A$ y $B$, calcule $|A \cdot B^{-1}|$ en función del parámetro $t$. ¿Para qué valores de $t$ no existe $|A \cdot B^{-1}|$?

$A = \begin{pmatrix} t+1 & t^2 & 2 \\ t+1 & t^2+t-2 & 2-t \\ t+1 & t^2 & 4 \end{pmatrix}$ ; $B = \begin{pmatrix} t & 3t & t^2-1 \\ 0 & t & 2-t \\ t & 4t & t^2 \end{pmatrix}$

El determinante de un producto es el producto de los determinantes, y el de la inversa es el inverso del determinante, siempre que esta exista:

$|A\cdot B^{-1}|=|A|\cdot|B^{-1}|=\dfrac{|A|}{|B|}$

Calculamos los dos por separado.

En $A$ la primera columna es constante, $(t+1)$ en las tres filas, así que la sacamos como factor común y restamos después la primera fila a las otras dos:

$|A|=(t+1)\begin{vmatrix} 1 & t^2 & 2 \\ 1 & t^2+t-2 & 2-t \\ 1 & t^2 & 4\end{vmatrix}=(t+1)\begin{vmatrix} 1 & t^2 & 2 \\ 0 & t-2 & -t \\ 0 & 0 & 2\end{vmatrix}$

El determinante que queda es triangular, luego es el producto de la diagonal:

$|A|=(t+1)\cdot1\cdot(t-2)\cdot2=2(t+1)(t-2)$

En $B$ restamos la primera fila a la tercera:

$|B|=\begin{vmatrix} t & 3t & t^2-1 \\ 0 & t & 2-t \\ t & 4t & t^2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} t & 3t & t^2-1 \\ 0 & t & 2-t \\ 0 & t & 1\end{vmatrix}$

y desarrollamos por la primera columna:

$|B|=t\begin{vmatrix} t & 2-t \\ t & 1\end{vmatrix}=t\left[t-t(2-t)\right]=t\left(t^2-t\right)=t^2(t-1)$

Por tanto,

$|A\cdot B^{-1}|=\dfrac{2(t+1)(t-2)}{t^2(t-1)}$

Este valor solo tiene sentido cuando $B$ es invertible, es decir, cuando $|B|\neq0$:

$|B|=t^2(t-1)=0 \Rightarrow \begin{cases} t=0 \\ t=1 \end{cases}$

El determinante pedido vale $|A\cdot B^{-1}|=\dfrac{2(t+1)(t-2)}{t^2(t-1)}$, y no existe para $t=0$ ni para $t=1$, que son los valores en los que $B$ no tiene inversa.