Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2026

Calcule los valores posibles de $r$ y $t$ para que $|A| + |B| = 4$, sabiendo que:

$A = \begin{pmatrix} t & t & t \\ t & 3+t & -3+t \\ 2 & -1 & 5 \end{pmatrix}$ ; $B = \begin{pmatrix} 1+r & r & 3r \\ 2 & -1 & 1 \\ r & r & 3r \end{pmatrix}$

Calculamos por separado los dos determinantes.

En $|A|$ la primera fila es $t\,(1,1,1)$, de modo que sacamos $t$ como factor común de esa fila:

$|A|=\begin{vmatrix} t & t & t \\ t & 3+t & -3+t \\ 2 & -1 & 5\end{vmatrix}=t\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ t & 3+t & -3+t \\ 2 & -1 & 5\end{vmatrix}$

Restando a la segunda fila la primera multiplicada por $t$, operación que no altera el valor del determinante,

$|A|=t\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \\ 2 & -1 & 5\end{vmatrix}=t\,(15-6+0-6-0-3)=t\cdot 0=0$

Es decir, $|A|=0$ sea cual sea el valor de $t$: la tercera columna de la matriz que queda es la primera menos dos veces la segunda.

En $|B|$ restamos la tercera fila a la primera, que tampoco altera el determinante:

$|B|=\begin{vmatrix} 1+r & r & 3r \\ 2 & -1 & 1 \\ r & r & 3r\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ r & r & 3r\end{vmatrix}$

y desarrollamos por la primera fila:

$|B|=1\cdot\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ r & 3r\end{vmatrix}=-3r-r=-4r$

Imponemos ahora la condición del enunciado:

$|A|+|B|=4 \Rightarrow 0-4r=4 \Rightarrow r=-1$

El determinante de $A$ es nulo cualquiera que sea $t$, así que la condición solo afecta a $r$: se cumple para $r=-1$ y para cualquier valor real de $t$.