Ejercicio resuelto de pH · Química · Asturias · 2023

Calcule, a 25 °C, el pH de una disolución acuosa ${10}^{-\mathrm{4,0}}\text{ M}$ de $\text{HCOOH}$ ($p{K}_{\text{a}}=\mathrm{3,8}$).

El ácido metanoico es un ácido débil, así que hay que plantear su equilibrio de ionización. El dato viene como $p{K}_{\mathrm{a}}$, de modo que lo primero es pasarlo a constante:

$K_{\mathrm{a}}={10}^{-p{K}_{\mathrm{a}}}={10}^{-\mathrm{3,8}}=\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-4}$

Y la concentración inicial, del mismo modo:

$c_0={10}^{-\mathrm{4,0}}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}{\mathrm{L}}^{-1}$

$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}\rightleftharpoons \mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}+{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}$

$$	$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$	$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{-}$	${\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}$ Inicial (M)	$\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}$	0	0 Cambio (M)	−x	+x	+x Equilibrio (M)	$\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}-x$	x	x

$K_{\mathrm{a}}=\frac{x^2}{\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}-x}=\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-4}$

Aquí es imprescindible resolver la ecuación completa, sin aproximar. La razón se ve de un golpe comparando la constante con la concentración:

$\frac{K_{\mathrm{a}}}{c_0}=\frac{\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-4}}{\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{1,6}$

La constante es incluso $\mathbf{\text{mayor}}$ que la concentración inicial, así que la disolución está tan diluida que el ácido se disocia en gran medida y despreciar $x$ frente a $c_0$ carecería de sentido.

$x^2+\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-4}x-\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-8}=0$

$x=\frac{-\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-4}+\sqrt{(\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-4}{)}^2+4\cdot \mathrm{1,58}\cdot {10}^{-8}}}{2}$

$x=\frac{-\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-4}+\sqrt{\mathrm{8,85}\cdot {10}^{-8}}}{2}=\frac{-\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-4}+\mathrm{2,98}\cdot {10}^{-4}}{2}$

$x=[{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}]=\mathrm{6,95}\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}{\mathrm{L}}^{-1}$

$\mathrm{p}\mathrm{H}=-\log (\mathrm{6,95}\cdot {10}^{-5})=\mathrm{4,16}$

El pH de la disolución es 4,16. El grado de ionización que corresponde a ese resultado es

$\alpha =\frac{\mathrm{6,95}\cdot {10}^{-5}}{\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{0,70}$

es decir, se ha disociado el 70 % del ácido. Es la ley de dilución de Ostwald en su forma más extrema: un ácido débil suficientemente diluido se comporta casi como uno fuerte. Nótese también que la aproximación habitual habría dado $x=\sqrt{K_{\mathrm{a}}{c}_0}=\mathrm{1,26}\cdot {10}^{-4}$, mayor que la propia concentración inicial del ácido, lo que es absurdo.