Ejercicio resuelto de pH · Química · Asturias · 2023

Calcule, a 25 °C, el pH de una disolución acuosa ${10}^{-\mathrm{3,5}}\text{ M}$ de ${\text{NH}}_3$ ($K_{\text{b}}={10}^{-\mathrm{4,8}}$).

El amoníaco es una base débil: no aporta $\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{-}$ por disociación directa, sino captando un protón del agua. Hay que plantear ese equilibrio, calcular la concentración de hidroxilos y pasar al pH a través del pOH.

Los dos datos vienen en forma logarítmica, así que primero se traducen:

$c_0={10}^{-\mathrm{3,5}}=\mathrm{3,16}\cdot {10}^{-4}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}{\mathrm{L}}^{-1}$

$K_{\mathrm{b}}={10}^{-\mathrm{4,8}}=\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-5}$

$\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}\rightleftharpoons \mathrm{N}{\mathrm{H}}_4^{+}+\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{-}$

$$	$\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3$	$\mathrm{N}{\mathrm{H}}_4^{+}$	$\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{-}$ Inicial (M)	$\mathrm{3,16}\cdot {10}^{-4}$	0	0 Cambio (M)	−x	+x	+x Equilibrio (M)	$\mathrm{3,16}\cdot {10}^{-4}-x$	x	x

$K_{\mathrm{b}}=\frac{[\mathrm{N}{\mathrm{H}}_4^{+}][\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{-}]}{[\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3]}=\frac{x^2}{\mathrm{3,16}\cdot {10}^{-4}-x}=\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-5}$

La disolución está muy diluida y el cociente $K_{\mathrm{b}}\mathrm{/}{c}_0=\mathrm{5,0}\cdot {10}^{-2}$ no es despreciable, así que hay que resolver la ecuación de segundo grado completa:

$x^2+\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-5}x-\mathrm{5,01}\cdot {10}^{-9}=0$

$x=\frac{-\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-5}+\sqrt{(\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-5}{)}^2+4\cdot \mathrm{5,01}\cdot {10}^{-9}}}{2}$

$x=\frac{-\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-5}+\sqrt{\mathrm{2,03}\cdot {10}^{-8}}}{2}=\frac{-\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-5}+\mathrm{1,42}\cdot {10}^{-4}}{2}$

$x=[\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{-}]=\mathrm{6,33}\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}{\mathrm{L}}^{-1}$

Ahora se pasa al pH. Primero el pOH y después, con el producto iónico del agua a 25 °C:

$\mathrm{p}\mathrm{O}\mathrm{H}=-\log (\mathrm{6,33}\cdot {10}^{-5})=\mathrm{4,20}$

$\mathrm{p}\mathrm{H}=\mathrm{14,00}-\mathrm{p}\mathrm{O}\mathrm{H}=\mathrm{14,00}-\mathrm{4,20}$

$\mathrm{p}\mathrm{H}=\mathrm{9,80}$

La disolución es básica, como corresponde a una base, pero solo moderadamente: un pH de 9,8 queda muy lejos del 10,5 que daría una base fuerte de esa misma concentración. El grado de ionización es $\alpha =\mathrm{6,33}\cdot {10}^{-5}\mathrm{/}\mathrm{3,16}\cdot {10}^{-4}=\mathrm{0,20}$, es decir, solo una quinta parte del amoníaco ha captado un protón.