Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Asturias · 2021

Un depósito cúbico que contiene etanol tiene unas paredes planas de $\mathrm{2,5}\text{ cm}$ de grosor fabricadas con un vidrio transparente de índice de refracción $\mathrm{1,55}$. Un rayo de luz incide desde el exterior (aire) sobre la pared de vidrio del depósito formando un ángulo de ${\mathrm{41,3}}^{\circ }$ respecto a la normal a la pared.

a) Calcule el ángulo que forma el rayo de luz con la normal a la pared del vidrio en contacto con el etanol. [1 punto]

b) El depósito se vacía y se rellena con un líquido desconocido. Si la luz incide con el mismo ángulo que en el caso anterior, el rayo entra en el líquido formando un ángulo de ${\mathrm{20,2}}^{\circ }$ con la normal. Justifique dónde es mayor la velocidad de la luz, en el etanol o en el líquido desconocido. [1 punto]

Datos: $n_{\text{etanol}}=\mathrm{1,36}$; $n_{\text{aire}}=\mathrm{1,00}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{normal}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pared}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{contacto}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{etanol.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El rayo atraviesa dos superficies planas y paralelas: primero la cara exterior de la pared, aire-vidrio, y después la interior, vidrio-etanol.

En la primera se aplica la ley de Snell:

$n_{\text{aire}}\text{sen}{\mathrm{41,3}}^{\circ }=n_{\text{vidrio}}\text{sen}{\widehat{r}}_1$

$\text{sen}{\widehat{r}}_1=\frac{\mathrm{0,660}}{\mathrm{1,55}}=\mathrm{0,426}\Rightarrow {\widehat{r}}_1={\mathrm{25,20}}^{\circ }$





Ese es el ángulo con el que el rayo viaja dentro del vidrio y, al ser las dos caras paralelas, también el ángulo con que incide sobre la cara en contacto con el etanol. Aplicando de nuevo la ley de Snell en esa segunda superficie:

$n_{\text{vidrio}}\text{sen}{\widehat{r}}_1=n_{\text{etanol}}\text{sen}{\widehat{r}}_2$

$\text{sen}{\widehat{r}}_2=\frac{\mathrm{1,55}\cdot \text{sen}{\mathrm{25,20}}^{\circ }}{\mathrm{1,36}}=\frac{\mathrm{0,660}}{\mathrm{1,36}}=\mathrm{0,485}$

${\widehat{r}}_2={\mathrm{29,03}}^{\circ }$

El rayo forma ${\mathrm{25,20}}^{\circ }$ con la normal mientras viaja por el vidrio y, ya dentro del etanol, ${\mathrm{29,03}}^{\circ }$ con esa misma normal.

Al encadenar las dos ecuaciones el índice del vidrio se cancela y queda $n_{\text{aire}}\text{sen}{\mathrm{41,3}}^{\circ }=n_{\text{etanol}}\text{sen}{\widehat{r}}_2$: como las caras de la pared son paralelas, el ángulo final es el mismo que se obtendría si el vidrio no estuviera. La pared solo desplaza el rayo lateralmente.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{dep}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{sito}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{vac}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{rellena}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{quido}}\mathbf{\text{desconocido.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{incide}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{entra}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{quido}}\mathbf{\text{formando}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">20,2</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\circ </mo></msup>}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{normal.}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nde}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{etanol}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{quido}}\mathbf{\text{desconocido.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Por lo que se acaba de ver, el índice del vidrio se cancela y basta relacionar el aire con el líquido interior:

$n_{\text{aire}}\text{sen}{\mathrm{41,3}}^{\circ }=n_x\text{sen}{\mathrm{20,2}}^{\circ }$

$n_x=\frac{\text{sen}{\mathrm{41,3}}^{\circ }}{\text{sen}{\mathrm{20,2}}^{\circ }}=\frac{\mathrm{0,660}}{\mathrm{0,345}}$

$n_x=\mathrm{1,91}$

La velocidad de la luz en un medio es inversamente proporcional a su índice de refracción:

$n=\frac{c}{v}\Rightarrow v=\frac{c}{n}$

$v_{\text{etanol}}=\frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,36}}=\mathrm{2,21}\cdot {10}^8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

$v_x=\frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,91}}=\mathrm{1,57}\cdot {10}^8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La luz viaja más deprisa en el etanol. Se podía anticipar sin calcular nada: con el mismo ángulo de incidencia, el rayo se desvía más hacia la normal en el líquido desconocido, y eso solo ocurre si es más refringente, es decir, si la luz se propaga más despacio en él.